La teoria ergodica (dal greco ἔργον érgon, lavoro, energia e ὁδός hodós «via, percorso»[1]) si occupa principalmente dello studio matematico del comportamento medio, a lungo termine, di sistemi dinamici.

Descrizione modifica

Il termine ergodico è stato introdotto da Ludwig Boltzmann (1844-1906) con riferimento ai sistemi meccanici complessi capaci di assumere spontaneamente tutti gli stati dinamici microscopici compatibili con il loro stato macroscopico. Le particelle costituenti il sistema, cioè, assumono ogni insieme di valori istantanei di posizione e velocità le cui caratteristiche medie corrispondono allo stato macroscopico del sistema. L'ipotesi ergodica, una formulazione più tecnica, è stata proposta da Josiah Willard Gibbs (1839-1903). Essa prevede che la media temporale di una proprietà del sistema sia equivalente alla media istantanea della medesima proprietà nell'insieme canonico quando il numero degli stati tende all'infinito.

Se lo stato del sistema è rappresentato con un punto che si muove in un opportuno spazio delle fasi, e vincolato da considerazioni energetiche su una particolare superficie immersa in esso, l'ipotesi ergodica assicura che il punto finirebbe col passare prima o poi per tutti i punti della superficie. Questa congettura si è dimostrata falsa se applicata alla generalità dei sistemi meccanici per i quali era stata formulata, per cui si è cominciato a parlare di sistemi quasi-ergodici, che hanno la proprietà, più debole, di passare per stati arbitrariamente prossimi agli stati microscopici compatibili con l'energia totale.

Biliardo bidimensionale modifica

Un modello semplice per visualizzare l'ipotesi ergodica è costituito dal biliardo bidimensionale, un sistema dinamico in cui si considera il moto di una palla con velocità assegnata in una certa porzione del piano euclideo, che rimbalza elasticamente sul bordo di questa porzione. Secondo l'ipotesi ergodica la palla dovrebbe passare per ogni posizione possibile sulla porzione di piano assegnata. Questo modello è particolarmente semplice sia perché il moto avviene nel piano, sia perché la conservazione dell'energia è limitata alle considerazioni sulla sola energia cinetica.

Tuttavia anche nel caso di porzioni molto semplici, come il biliardo triangolare, le dimostrazioni di proprietà ergodiche non sono banali e richiedono un formalismo matematico piuttosto sviluppato.

Trasformazione ergodica modifica

Sia   uno spazio di probabilità e sia   una trasformazione che preserva la misura. Se  , con  , allora anche  . Possiamo quindi studiare   mediante le due trasformazioni più semplici   e  . Se   tale studio è effettivamente più semplice. Se invece   (oppure   è possibile ignorare tale insieme, essendo di misura nulla. Ciò porta a studiare le classi di trasformazioni che non possono essere ulteriormente decomposte ed esprimere altresì ogni trasformazione che preserva la misura in termini di quelle indecomponibili.

Definizione modifica

Sia   uno spazio di misura e sia   una trasformazione non singolare.   è detta ergodica se ogni insieme invariante   (ossia tale  ) è tale che   oppure  . In altre parole,   è ergodica se gli unici insiemi invarianti sono i sottoinsiemi banali di  .

Dalla definizione segue che ogni trasformazione ergodica deve essere studiata sull'intero spazio  .

Caratterizzazioni delle trasformazioni ergodiche modifica

Sia   uno spazio di misura e sia   una trasformazione che preserva la misura. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

  •   è ergodica;
  • se, presa   misurabile,   per ogni  , allora   è costante quasi ovunque;
  • se, presa   misurabile,   per quasi ogni  , allora   è costante quasi ovunque;
  • se, presa  ,   per ogni  , allora   è costante quasi ovunque;
  • se, presa  ,   per quasi ogni  , allora   è costante quasi ovunque.

Sia   uno spazio di misura normalizzato,   una trasformazione che preserva la misura e sia   l'operatore di Frobenius-Perron associato. Allora   è ergodica se e soltanto se la successione   è convergente secondo Cesàro a  , per ogni  . Analogamente, in termini dell'operatore di Koopman  , l'operatore aggiunto dell'operatore di Frobenius-Perron, possiamo affermare che   è ergodica se e solo se

 

Esempi di trasformazioni ergodiche modifica

Rotazioni del cerchio unitario modifica

Sia  , con   la  -algebra di Lebesgue e   la misura di Lebesgue. Per ogni   considero la trasformazione   definita da  , che preserva la misura. Dimostriamo che se   è irrazionale, allora   è ergodica.

Sia   irrazionale, e sia  ,  -invariante. Espandendo   nella sua serie di Fourier,

 

Dato che   allora

 

Dunque,

 

Dall'unicità dei coefficienti della serie di Fourier,   per ogni  . Se  , dall'irrazionalità di  , si ha  . Dunque   per ogni  , pertanto   è costante. Dal teorema di caratterizzazione delle trasformazioni ergodiche,   è ergodica.

Moltiplicazione per 2 modulo 1 modifica

Preso  , sia   la trasformazione che preserva la misura data da

 

Utilizziamo il lemma di Knopp per provare l'ergodicità di   Sia   la collezione di intervalli della forma  , con   e  . L'insieme   dei razionali diadici è denso in  , dunque ogni intervallo aperto è al più un'unione numerabile di elementi di  . Dunque   soddisfa la prima ipotesi del lemma di Knopp.   mappa ogni intervallo diadico della forma   linearmente in  , infatti   Sia   un insieme  -invariante e assumiamo che  . Sia   diadico di ordine  . Allora   e

 

Dunque è soddisfatta anche la seconda ipotesi del lemma di Knopp con  . Pertanto   e   è ergodica.

Note modifica

  1. ^ ergòdico in Vocabolario - Treccani, su treccani.it. URL consultato il 15 novembre 2017.

Bibliografia modifica

Voci correlate modifica

Collegamenti esterni modifica

Controllo di autoritàThesaurus BNCF 47234 · LCCN (ENsh85044600 · BNF (FRcb12265362m (data) · J9U (ENHE987007552897305171 · NDL (ENJA00562040
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