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Storie consistenti

Interpretazione della meccanica quantistica

L'interpretazione a storie consistenti (anche chiamata a storie decoerenti) è un'interpretazione della meccanica quantistica che si prefigge di dare una versione più soddisfacente dell'interpretazione di Copenaghen, pur conservandone i principi fondamentali.

Nelle parole del fondatore R. B. Griffiths, vuole essere "la Copenaghen" fatta come si deve (Copenhagen done right)[1]. In particolare essa accetta il carattere intrinsecamente casuale dei fenomeni quantistici, ma rifiuta l’idea che il cosiddetto collasso della funzione d'onda sia un fenomeno fisico.

SviluppoModifica

L'interpretazione a storie consistenti è stata proposta dal fisico statunitense Robert B. Griffiths nel 1984[2]. Negli anni successivi questo approccio è stato sviluppato ulteriormente da Griffiths[3][4][5][6] e dal fisico francese Roland Omnès[7][8][9][10][11]. Un approccio essenzialmente analogo è stato sviluppato in larga parte indipendentemente dai fisici statunitensi Murray Gell-Mann e James Hartle[12][13][14], chiamato da quest'ultimi `approccio a storie decoerenti'. Le formulazioni di Griffiths/Omnès e di Gell-Mann/Hartle sono matematicamente simili e complementari dal punto di vista del contenuto interpretativo. La formulazione di Griffiths e Omnès punta la propria attenzione a chiarire i paradossi `tradizionali' della meccanica quantistica (gatto di Schrödinger, problema della misura, teorema di Bell, teorema di Kochen-Specker, ruolo dell'osservatore, dibattito sul carattere indeterministico della teoria e sulla possibilità di variabili nascoste, ecc.), mentre gli articoli di Gell-Mann e Hartle danno più risalto al fenomeno della decoerenza, alla spiegazione di come il mondo classico emerga dalla realtà quantistica e ad applicazioni in cosmologia quantistica. Gell-Mann sostiene[15] che nella sua formulazione sia stato ispirato dalla interpretazione a molti mondi di Everett e dagli studi sulla decoerenza quantistica dei fisici E. Joos, H. D. Zeh e W. H. Żurek. D'altra parte Omnès e Griffiths sono stati influenzati dalla formulazione di "proiezioni come proposizioni"[16] presentata da von Neumann nel suo celebre trattato sui fondamenti matematici della meccanica quantistica[17][18][19], che ha anche dato origine al filone delle logiche quantistiche[20], iniziato da Birkhoff e sviluppato in varie direzioni soprattutto negli anni 1960 e 1970 da fisici-matematici come G. W. Mackey, J. M. Jauch, C. Piron, G. Ludwig e altri.

ContenutoModifica

L'interpretazione delle storie consistenti è presentata da Griffiths in maniera molto dettagliata in un libro[21] e i vari articoli di rassegna[16][1][22]. Omnès ha scritto due libri sull'argomento[23][24] e un articolo di rassegna molto citato[11]. Gell-Mann ha dato una introduzione semi-tecnica in un libro divulgativo[15]. Nel seguito dell'articolo viene esposta l'interpretazione nella formulazione datale da Griffiths e Omnès.

Le “storie” che danno il nome all'interpretazione si riferiscono ad una descrizione di un sistema fisico per una sequenza di tempi t0, t1, t2,... Molti dei punti chiave dell’interpretazione emergono già nel caso più semplice in cui si considera un sistema per un unico tempo t; nel seguito consideriamo inizialmente il caso di un solo tempo t per poi passare al caso generale nella sezione successiva.

Interpretazione per un unico istante di tempoModifica

I principi chiave di questa interpretazione possono essere formulati in tre punti.

Punto 1. Invece di focalizzarsi sul significato della funzione d’onda, nell'interpretazione a storie consistenti l’enfasi è spostata sulle possibili proposizioni (ossia, affermazioni che possono essere vere o false) riguardanti eventi fisici. Un evento è, secondo Griffiths[2], “un particolare stato di cose al tempo t ”.

Esempi di proposizioni sono (le unità di misura sono omesse perché non rilevanti alla discussione):

  • Pa : L’elettrone è, al tempo t, nel suo stato fondamentale.
  • Pb : L’elettrone è, al tempo t, tra x=1 e x=1.1.
  • Pc : L’elettrone ha, al tempo t, velocità compresa tra v=2.1 e v=2.05.
  • Pd : La proiezione dello spin dell'elettrone lungo la direzione z è, al tempo t, 1/2.
  • Pe : La proiezione dello spin dell'elettrone lungo la direzione x è, al tempo t, -1/2.
  • Pf : L’ago dello strumento indica +1.

Come indicato dall'esempio Pf , le proposizioni possibili possono anche riguardare oggetti macroscopici; l’interpretazione a storie consistenti rigetta l’idea che ci sia una divisione tra una “realtà quantistica” al livello di particelle elementare e una “realtà classica” (governata esattamente dalla meccanica classica) a livello macroscopico: le regole quantistiche si applicano all'intera realtà fisica. L’interpretazione a storie consistenti rigetta pure l’idea che la presenza o meno di un osservatore (cosciente o meno) giochi un ruolo fisico speciale nei processi naturali; come dettagliato nel seguito di questo articolo, il “ruolo” dell’osservatore è quello di scegliere le proposizioni su cui si vuole focalizzare l’attenzione, ma questo è un ruolo completamente passivo. Griffiths fornisce per il ruolo dell’osservatore la seguente metafora; supponiamo di voler fare una fotografia ad un oggetto, per esempio una montagna. La montagna esiste indipendentemente da noi, però la fotografia dipende dalle scelte del fotografo (inquadratura, direzione, ecc.). In questa metafora la montagna è la realtà fisica (quantistica), mentre la fotografia è ciò che possiamo dire sulla realtà in base a proposizioni su eventi. È bene notare che le predizioni sia della meccanica classica che di quella quantistica possono essere espresse in termini di proposizioni simili a quelle date negli esempi, e pertanto ragionare in termini di proposizioni costituisce un linguaggio comune alla meccanica quantistica (e anche alla teoria quantistica dei campi) e a quella classica e forma una base solida per investigare in quali situazioni le predizioni della meccanica quantistica si riducono a quelle della meccanica classica.

Punto 2. L’interpretazione a storie consistenti accetta che la Natura sia non-deterministica a livello fondamentale. In particolare, anche se si possedesse una conoscenza perfetta dell'intero universo al tempo t, non sarebbe possibile prevedere con certezza tutti gli eventi ad un tempo successivo. Come conseguenza, alle proposizioni su eventi fisici introdotte nel punto precedente è possibile, in generale, solo assegnare una probabilità che essere siano vere.

Punto 3. L’interpretazione a storie consistenti accetta che l’immagine della Natura data dalla meccanica classica, che corrisponde anche alla nostra intuizione formata a partire dal mondo macroscopico, sia sbagliata a livello fondamentale; per questo motivo dobbiamo essere pronti a cambiare o rinunciare ad alcuni principi fondamentali che ci appaiono “naturali”. Una situazione analoga, ma meno radicale, è accaduta con la teoria della relatività, che ha costretto ad una drastica revisione delle nostre intuizioni sullo spazio e il tempo. Nello specifico, l’interpretazione a storie consistenti ritiene che il principio fondamentale della meccanica quantistica che la rende fondamentalmente differente dalla meccanica classica e in cui risiede la sua “stranezza” è il principio di incompatibilità: non è possibile considerare contemporaneamente proposizioni che riguardano grandezze (osservabili) incompatibili. Nel formalismo della meccanica quantistica due osservabili sono incompatibili se i corrispondenti operatori non commutano, e pertanto si applica il principio di indeterminazione. Per esempio, consideriamo le proposizioni degli esempi Pd e Pe; entrambe le proposizioni, prese singolarmente, sono sensate ed è possibile assegnare ad ognuna di esse una probabilità di verità; per esempio, se al tempo t il sistema è nello stato che è un autostato di Ŝz con autovalore ½, allora il formalismo della meccanica quantistica ci dice che la proposizione Pd ha il 100% di probabilità di essere vera mentre la proposizione Pe ha il 50% di probabilità di essere vera. Se ci trovassimo in un contesto non-quantistico nulla ci impedirebbe di considerare proposizioni come per esempio Pg = Pd AND Pe , a cui sembrerebbe naturale assegnare una probabilità di verità del 50%. Tuttavia, poiché gli operatori Ŝz e Ŝx non commutano, il principio di incompatibilità ci vieta di considerare proposizioni come Pg e di assegnare loro una probabilità. La posizione dell’interpretazione a storie consistenti è che proposizioni che vìolano il principio di incompatibilità, come Pg, sono senza senso. Il principio di incompatibilità è essenzialmente analogo al principio di complementarità formulato do Bohr, anche se epurato di riferimenti espliciti a “misurazioni” o “osservazioni”, che sono considerati inessenziali.

Le proposizioni a cui ci si riferisce nel punto 1. corrispondono a operatori di proiezione ortogonale nello spazio di Hilbert degli stati; di particolare rilevanza sono i proiettori su autospazi di operatori corrispondenti ad osservabili. Per esempio, possiamo considerare l’energia del sistema, e l’operatore corrispondente è pertanto l’hamiltoniano del sistema. Supponiamo che l’hamiltoniano abbia uno spettro puramente discreto e non degenere:  , con corrispondenti autostati  . Il proiettore sull'autospazio di  è:

 

e gli assegniamo il significato fisico “il sistema ha energia  ” oppure, equivalentemente, "il sistema è nel suo stato fondamentale". Se il sistema è in uno stato generico  la probabilità che esso abbia energia  è data da:

 

come del resto nel formalismo standard. La differenza è che non abbiamo fatto nessun riferimento ad osservazioni o esperimenti, ma a proprietà che il sistema possiede indipendentemente da esse.

Così come le proposizioni possono essere combinate tramite i connettivi logici AND, OR e NOT, lo stesso è possibile con gli operatori di proiezione (a patto che essi commutino – in caso contrario essi vìolano il principio di incompatibilità dettato dal punto 3.). Il connettivo AND corrisponde al prodotto dei proiettori (entrambe le proprietà sono vere allo stesso tempo), il connettivo OR corrisponde alla loro somma mentre NOT corrisponde al complemento ortogonale.

Per esempio, possiamo considerare il proiettore  ; nell’ipotesi che lo spettro sia non-degenere è facile verificare che  per quasiasi stato  . Questo significa che la proposizione “il sistema ha energia  e allo stesso tempo energia  ” è sempre falsa. Similmente, se consideriamo l’operatore posizione  , è sempre falsa la proposizione che una particella si trovi contemporaneamente in più di una posizione nello spazio.

Il connettivo OR corrisponde alla somma dei proiettori; nel caso quantistico ci sono delle differenze nell'interpretazione di proposizioni di questo tipo rispetto al caso classico. Consideriamo per esempio l’operatore di proiezione

 
Il significato che gli può essere assegnato è “il sistema ha energia compresa nell'intervallo  ”. Se  possiamo dedurre che ci troviamo con certezza in una delle seguenti tre situazioni:
  1. il sistema è nello stato  e ha energia  .
  2. il sistema è nello stato  e ha energia  .
  3. il sistema è in una sovrapposizione lineare di  e  , per esempio  , e non ha pertanto una energia ben definita; anche se non possiamo assegnare al sistema un’energia definita, possiamo tuttavia dire che l’energia è maggiore di  e minore di  .

Il caso 3., che comprende sovrapposizioni lineari di stati, è caratteristico della meccanica quantistica; in un contesto classico ci aspetteremmo che se la proposizione  è vera, allora almeno una fra le due proposizioni  oppure  deve essere vera, ma così non è in meccanica quantistica. Dobbiamo accettare, secondo l’interpretazione a storie consistenti, che sono possibili stati, come quelli del punto 3., per cui la nostra intuizione basata sul mondo macroscopico viene meno.

Consideriamo ora uno stato  in cui una particella è localizzata intorno al punto  e uno stato  in cui la particella è localizzata intorno al punto  . Qual è il significato del proiettore sullo stato   ?

Come abbiamo stabilito, di sicuro il suo significato non è che la particella è contemporaneamente nei punti  e  : come abbiamo detto nell'esempio precedente, la probabilità che una particella sia in più posti contemporaneamente è sempre nulla. Più corretto è dire che la particella è in  oppure in  , anche se vale l’avvertenza fatta sopra: in meccanica quantistica non è vero che se è vera la proposizione “la particella è in  oppure in  ” allora “la particella è nello stato  ” è vera oppure “la particella è nello stato  ” è vera. Operazionalmente potrebbe essere il caso che, per limitazioni sperimentali (e qui risulta rilevante il ruolo della decoerenza), siamo in grado di effettuare misure di posizione solo in un punto dello spazio alla volta. In questo caso in proiettore  è a noi inaccessibile in pratica e possiamo usare solo i proiettori  e  , e possiamo quindi ragionare in questo contesto in modo “classico” e pensare che la particella sia o in  o in  in senso esclusivo.

Incompatibilità quantistica e scelta del quadro di riferimentoModifica

Come accennato nel punto precedente, l'interpretazione a storie consistenti identifica nel principio di incompatibilità la caratteristica essenziale che differenzia la meccanica quantistica da quella classica e la sorgente delle note difficoltà interpretative. In questo paragrafo spenderemo alcune parole in più su questo punto.

Nella teoria della probabilità è necessario dall'inizio stabilire quale sia lo spazio campionario Ω (in inglese, sample space) del sistema, ossia l'insieme di tutti i possibili eventi possibili (=sottoinsiemi di Ω); ha quindi senso assegnare probabilità agli eventi. In meccanica quantistica, nell'interpretazione a storie consistenti, la scelta dello spazio campionario corrisponde alla scelta di una particolare decomposizione dell'operatore identità tramite proiettori; per esempio, se rivolgo la mia attenzione alla posizione userò proiettori di posizione (adatti a rispondere a domande del tipo `dov'è la particella'), se mi interessa invece l'energia userò proiettori su autostati dell'energia, eccetera. In questo contesto, una specifica scelta della decomposizione dell'operatore identità è chiamata scelta del quadro di riferimento (in inglese, framework). L'interpretazione a storie consistenti sottolinea che le probabilità assegnate dalla meccanica quantistica ad eventi fisici sono sempre relative al quadro di riferimento scelto. Tale scelta è a volte implicita, ma è sempre presente. In particolare, due quadri di riferimento basati su proiettori di osservabili incompatibili (cioè, che non commutano) sono incompatibili e non è possibile considerare allo stesso tempo le probabilità assegnate dai due quadri. Da questo punto di vista l'interpretazione a storie consistenti fa considerazioni analoghe a quelle tradizionalmente associate con l'interpretazione di Copenaghen, come per esempio la seguente citazione di una lettera di Pauli ad Heisenberg del 1926[25]: One can look at the world with the p-eye and one can look at it with the q-eye but when one would like to open both eyes, then one gets dizzy (Possiamo guardare il mondo tramite il nostro occhio `p' o possiamo guardarlo tramite il nostro occhio `q', ma quando vorremmo aprire entrambi gli occhi ci gira la testa).

Interpretazione per multipli istanti di tempoModifica

Una storia quantistica Y è una collezione di N proiettori  relativi a N tempi successivi  e la scriviamo simbolicamente come:

 

Il significato di tale storia è: al tempo  l'evento fisico descritto dal proiettore  accade, al tempo  l'evento  accade, e così via. L'interpretazione a storie consistenti permette di associare una probabilità di verità a storie quantistiche di questo tipo.

Un punto cruciale dell'interpretazione è che, prima di poter pensare di assegnare probabilità, è necessario fissare il nostro quadro di riferimento. Il quadro di riferimento è un insieme di storie quantistiche, che indicizziamo tramite l'indice  , tutte relative agli stessi tempi  , e tali per cui per ogni tempo i proiettori considerati da tutte le storie costituiscono una decomposizione dell'identità. Illustriamo questo punto con esempi.

Il caso di un tempo solo (N=1) è quello descritto nella sezione precedente. La scelta del quadro di riferimento in questo caso è una singola scelta della decomposizione dell'identità del tipo

 

Per esempio, consideriamo un sistema con livelli discreti di energia  e consideriamo una decomposizione con i tre operatori di proiezione

 

Con questa scelta di decomposizione abbiamo tre `storie' quantistiche che formano un quadro di riferimento; essendoci un solo tempo, le storie corrispondono con gli operatori scritti sopra. La prima storia corrisponde all'evento `l'energia al tempo  è  ', la seconda storia a `l'energia al tempo  è  ' e la terza a `l'energia al tempo  è maggiore  ' (con le avvertenze fatte nella sezione precedente). Questo quadro di riferimento è ben posto, poiché i proiettori commutano e pertanto rispettano il principio di incompatibilità.

Il caso a due tempi (N=2) per stabilire il nostro quadro di riferimento dobbiamo scegliere due decomposizioni dell'identità, una per il tempo  e una per il tempo  . Se la decomposizione per  consiste in k operatori e quella per  consiste in m operatori, otterremo in totale   storie quantistiche. Introduciamo ora ulteriore formalismo, che sarà essenziale nel caso generale con tre o più tempi. Prima di tutto i proiettori sono ora specificati da due indici, un indice   che specifica il tempo a cui ci si riferisce e un secondo indice,  , che si specifica la storia a cui ci si riferisce; indichiamo l'indice temporale n come pedice, mentre l'indice  come argomento tra parentesi (per evitare di usare apici e pedici contemporaneamente). Quindi una generica storia a due tempi è scritta come:

 

e ha il significato `al tempo  il sistema ha la proprietà  e al tempo  ha la proprietà  . Per esempio, supponiamo al tempo  di selezionare la decomposizione dell'identità fatta nell'esempio precedente a un tempo mentre per il tempo  scegliamo la decomposizione a due operatori:

 

Dove  è un dato (arbitrario) stato. Il proiettore  rappresenta pertanto la proprietà `il sistema è nello stato  ', mentre  rappresenta la proprietà `il sistema NON è nello stato  '. Con queste decomposizioni abbiamo  storie quantistiche, che scriviamo per esteso:

 

La storia 1 pertanto ha il significato `il sistema è nello stato  al tempo  e nello stato  (cioè, equivalentemente, ha energia  ) al tempo  , e similmente per le altre storie. Questo insieme di 6 storie costituisce il nostro quadro di riferimento. Proseguiamo ora con altre definizioni. Indichiamo con  l'operatore di evoluzione temporale del sistema dal tempo  al tempo  . Se l'Hamiltoniano H non dipende al tempo il formalismo standard ci dice che questo operatore è dato da  . Definiamo quindi gli operatori di peso (inglese: weight operator), che associano ad ogni storia quantistica un operatore nello spazio di Hilbert del sistema, che nel nostro esempio sono (la definizione generale è data nel seguito dell'articolo):

 
Introduciamo quindi un prodotto interno tra gli operatori di peso tramite l'operazione di traccia:
 

(da completare)

Critiche e commentiModifica

Questo testo è ancora da scrivere.

Riferimenti nella letteraturaModifica

L'interpretazione delle storie consistenti è menzionata in un passaggio del best seller del 1999 "Le particelle elementari" dello scrittore francese Michel Houellebecq, in cui `la memoria di una vita umana' è paragonata (fantasiosamente) a `una delle storie consistenti di Griffiths':

«La memoria di una vita umana [...] somiglia a una delle cosiddette 'storie consistenti' di Griffiths. [...] Tu hai dei ricordi di diversi momenti della tua vita, riassunse Michel, e questi ricordi si presentano sotto aspetti diversi; tu rivedi pensieri, atteggiamenti, facce. Talvolta ti torna in mente un semplice nome [...] Altre volte invece rivedi un volto, senza neppure potergli associare un ricordo. [...] Le storie consistenti di Griffiths sono state adottate nel 1984 per collegare le misure quantistiche in schemi narrativi verosimili. Una storia di Griffiths viene costruita a partire da una serie di misure rilevate più o meno a casaccio in momenti diversi. Ciascuna misura esprime il fatto che una determinata quantità fisica, eventualmente diversa da una misura all'altra, sia compresa, in un dato momento, in un certo arco di valori. Per esempio, nel tempo t1, un elettrone ha una certa velocità, determinata con un'approssimazione che dipende dal tipo di misura; nel tempo t2, il suddetto elettrone è situato in un certo arco spaziale; nel tempo t3, ha un certo valore di rotazione. A partire da un sottoinsieme di misure possiamo definire una storia, logicamente consistente ma di cui tuttavia non possiamo dire che sia vera: può semplicemente essere sostenuta senza contraddizione. Tra le storie possibili del mondo in un dato quadro sperimentale, alcune possono venire riscritte sotto la forma canonizzata da Griffiths; tali storie vengono allora definite storie consistenti di Griffiths, e si svolgono come se il mondo fosse composto di oggetti separati, dotati di proprietà intrinseche e stabili. Tuttavia, il numero di storie consistenti di Griffiths che possano essere riscritte a partire da una serie di misure è, in genere, sensibilmente superiore a uno. Tu hai una coscienza del tuo io; questa coscienza ti permette di fare un'ipotesi: la storia che sei in grado di ricostruire a partire dai tuoi ricordi è una storia consistente, giustificabile nel principio di una narrazione univoca. In quanto individuo isolato, perseverante nell'esistenza per un certo lasso di tempo, sottoposto a un'ontologia di oggetti e di proprietà, su questo punto non hai alcun dubbio: si deve necessariamente poterti associare una storia consistente di Griffiths.»

NoteModifica

  1. ^ a b Robert B. Griffiths, The Stanford Encyclopedia of Philosophy - The Consistent Histories Approach to Quantum Mechanics, su plato.stanford.edu, 7 agosto 2014. URL consultato il 9 febbraio 2018.
  2. ^ a b Robert B. Griffiths, Consistent Histories and the Interpretation of Quantum Mechanics, in J. Stat. Phys., vol. 35, 1984, pp. 219-272.
  3. ^ Robert B. Griffiths, Correlations in separated quantum systems: A consistent history analysis of the EPR problem, in Am. J. Phys., vol. 55, 1987, pp. 11-17.
  4. ^ Robert B. Griffiths, Consistent Histories and Quantum Reasoning, in Phys. Rev. A, vol. 54, 1996, pp. 2759.
  5. ^ Robert B. Griffiths, Consistent resolution of some relativistic quantum paradoxes, in Phys. Rev. A, vol. 66, 2002, p. 062101.
  6. ^ Robert B. Griffiths, Quantum locality [collegamento interrotto], in Found. Phys., vol. 41, 2011, pp. 705-733.
  7. ^ Roland Omnès, Logical Reformulation of Quantum Mechanics. I. Foundations, in J. Stat. Phys., vol. 53, 1988, pp. 893-932.
  8. ^ Roland Omnès, Logical Reformulation of Quantum Mechanics. II. Interferences and the Einstein-Podolsky-Rosen Experiment, in J. Stat. Phys., vol. 53, 1988, pp. 933-955.
  9. ^ Roland Omnès, Logical Reformulation of Quantum Mechanics. III. Classical Limit and Irreversibility, in J. Stat. Phys., vol. 53, 1988, pp. 957-975.
  10. ^ Roland Omnès, Logical Reformulation of Quantum Mechanics. IV. Projectors in Semiclassical Physics, in J. Stat. Phys., vol. 57, 1989, pp. 357-382.
  11. ^ a b Roland Omnès, Consistent interpretations of quantum mechanics, in Rev. Mod. Phys., vol. 64, 1992, pp. 339-382.
  12. ^ Murray Gell-Mann e James B. Hartle, Quantum Mechanics in the Light of Quantum Cosmology, in Proc. 3rd Int. Symp. Foundations of Quantum Mechanics, 1989, pp. 321-343.
  13. ^ Murray Gell-Mann e James B. Hartle, Classical equations for quantum systems, in Phys. Rev. D, vol. 47, 1993, pp. 3345-3382.
  14. ^ James B. Hartle, Spacetime Quantum Mechanics and the Quantum Mechanics of Spacetime, in Gravitation and Quantizations: Proceedings of the 1992 Les Houches Summer School, ed. by B. Julia and J. Zinn-Justin, 1992.
  15. ^ a b Murray Gell-Mann, Il Quark e il Giaguaro. Avventura nel semplice e nel complesso., Bollati Boringhieri, 1996.
  16. ^ a b Robert B. Griffiths, The New Quantum Logic, in Found. Phys., vol. 44, 2014, pp. 610-640.
  17. ^ Johann v. Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Julius Springer, 1932.
  18. ^ John von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, traduzione di Robert T. Beyer, Princeton University Press, 1955.
  19. ^ John von Neumann, G. Boniolo (curatore), I fondamenti matematici della meccanica quantistica, Il Poligrafo, 1998.
  20. ^ Stanford Encyclopedia of Philosophy - Quantum Logic and Probability Theory, su plato.stanford.edu. URL consultato il 18 Marzo 2018.
  21. ^ Robert B. Griffiths, Consistent Quantum Theory, Cambridge University Press, 2002.
  22. ^ Robert B. Griffiths, A consistent quantum ontology, in Stud. Hist. Phil. Mod. Phys., vol. 44, 2013, pp. 93-114.
  23. ^ Roland Omnès, The interpretation of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1994.
  24. ^ Roland Omnès, Understanding Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1999.
  25. ^ Abraham Pais, Niels Bohr's Times: In physics, philosophy, and polity, Clarendon Press/Oxford University Press, p. 304.
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