Spazio vettoriale simplettico

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In algebra lineare, uno spazio vettoriale simplettico è uno spazio vettoriale reale di dimensione pari dotato di una funzione

tale che, per ogni in e per ogni in

per ogni implica

In altre parole, è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. Lo spazio munito della forma si dice anche munito di struttura simplettica.

Fissata una base, si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari. Infatti, sia la matrice di dimensione , con ,che rappresenta la forma bilineare in un qualche base, ovvero

Allora, dal momento che la forma è antisimmetrica anche lo sarà e dunque

dove nella prima uguaglianza si è usata la formula di Binet. Dal momento che è invertibile vale , e quindi dalla precedente espressione si evince che , e quindi la dimensione dello spazio simplettico è necessariamente pari.

Base simplettica canonica modifica

Dato uno spazio vettoriale simplettico   di dimensione   la base  

tale che

 

per ogni   è detta base simplettica canonica. In tale base il prodotto simplettico diviene

 

dove   è la matrice a blocchi data da

 

detta matrice unità simplettica.

Proprietà della matrice unità simplettica modifica

La matrice   soddisfa alcune proprietà, quali

  •  
  •  
  •  

Esistenza modifica

Si può dimostrare che ogni spazio vettoriale simplettico ammette una base simplettica canonica.

Sottospazi modifica

Dato uno spazio vettoriale simplettico   ed un suo sottospazio vettoriale  , possiamo definire il complemento ortogonale simplettico di   come

 

Allora il sottospazio   si dice

  • Isotropo se  
  • Lagrangiano (o massimalmente isotropo) se  
  • Coisotropo se  

Se  , allora la dimensione degli spazi isotropi è compresa tra   e  , quella degli spazi coisotropi tra   e   e quella degli spazi Lagrangiani è necessariamente  .

La forma simplettica è identicamente nulla sugli spazi isotropi o lagrangiani

 

Esempio modifica

Dato lo spazio vettoriale   dotato della forma simplettica standard, il sottospazio   è lagrangiano.

Simplettomorfismi modifica

Un simplettomorfismo tra due spazi vettoriali simplettici   e   è un isomorfismo lineare   tale che  .

In altre parole, questo significa che se vale

 

per ogni coppia di vettori  , allora   è un simplettomorfismo. In tal caso i due spazi si dicono simplettomorfi.

Si può dimostrare che, dato un qualsiasi spazio vettoriale simplettico   di dimensione  , questo è simplettomorfo a  , dove   è la forma simplettica standard.

Bibliografia modifica

Voci correlate modifica

Collegamenti esterni modifica

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