Superficie cartesiana implicita

Una superficie rappresentata implicitamente ha la forma:

$F(x,y,z)=0$ oppure :$F(x,y,z)=c$ con c una costante qualsiasi.

Perché la superficie sia regolare almeno una delle sue derivate parziali deve essere non nulla, cioè si deve verificare la condizione:

$F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}\neq 0$

Studio locale

Una volta appurato che il luogo di zeri della funzione F è non vuoto e che una delle derivate parziali di F è non nulla in un punto, per il teorema delle funzioni implicite è possibile in un intorno di questo punto esprimere la superficie come grafico di una funzione di due variabili, pertanto è garantita la regolarità locale.

Piano tangente

Supponiamo che $F_{z}\neq 0$, allora l'equazione del piano tangente al punto $(x_{0},y_{0},z_{0})$ della superficie è data:

$F_{x}\cdot (x-x_{0})+F_{y}\cdot (y-y_{0})+F_{z}\cdot (z-z_{0})=0$

Questo piano $\Pi \subset \mathbb {R} ^{3}$ si può descrivere come l'ortogonale della retta generata dal gradiente di F. In simboli $\Pi =\langle \nabla F\rangle ^{\perp }$. Per questa ragione il gradiente deve essere non nullo.

Coseni direttori

I coseni direttori della normale della superficie sono:

$\cos \alpha ={\frac {F_{x}}{\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}}}$

$\cos \beta ={\frac {F_{y}}{\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}}}$

$\cos \gamma ={\frac {F_{z}}{\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}}}$

Voci correlate

• Superficie parametrica
• Superficie cartesiana esplicita
• Teorema delle funzioni implicite