Superficie di rotazione

termine

In geometria una superficie di rotazione o di rivoluzione è una superficie ottenuta ruotando una curva (detta generatrice o profilo) attorno ad una retta (l'asse di rotazione).

La parabola y=x2 ruotata attorno all'asse y

La curva ottenuta intersecando un piano perpendicolare all'asse di rotazione si chiama parallelo della superficie di rotazione. La curva ottenuta intersecando un piano passante per l'asse di rotazione è detta meridiano.

Equazione parametricaModifica

In generale una superficie di rotazione   è rappresentabile in equazioni parametriche fissando un sistema di riferimento cartesiano e rappresentando le equazioni parametriche della curva che la genera. Scegliamo z (per esempio) coincidente con l'asse di rotazione, le equazioni della curva sono:

 

dove   è un parametro reale.

Ora supponendo che la curva sopra ruoti di un angolo   attorno all'asse z, otteniamo le equazioni parametriche della superficie di rotazione:

 

In questo caso i paralleli sono dati fissando il valore del parametro u:

 

mentre i meridiani, fissando il parametro  :

 

Equazione cartesianaModifica

Allo stesso modo possiamo rappresentare la curva che genera la superficie pensandola come equazione cartesiana:

 

Prendiamo un punto fisso della curva   e vediamo che se lo facciamo ruotare intorno a z di un angolo   otteniamo un altro punto di equazioni:

 

Poiché quadrando le prime due equazioni otteniamo:   si vede che  . Allora l'equazione cartesiana della superficie di rotazione è:

 

Prima forma differenziale di GaussModifica

Facendo riferimento a quanto detto sulle superfici parametriche possiamo ricavare l'espressione della prima forma quadratica di Gauss, che rappresenta in genere l'elemento di superficie. Poiché essa è una superficie regolare possiamo ricavare i vettori tangenti alle due linee t e θ:

 
 

Allora i coefficienti della prima forma differenziale di Gauss diventano:

 
 
 

La prima forma quadratica di Gauss è:

 

In tal caso l'elemento di superficie diventa:

 

e se ne può calcolare l'area:

 

Un caso particolare e notevole è la parametrizzazione della curva profilo mediante l'ascissa curvilinea s. Con essa la velocità del profilo è costantemente 1, ovvero  . Perciò i coefficienti della prima forma quadratica si riducono:

 
 
 

dove   è il nuovo parametro dell'ascissa curvilinea. La prima forma quadratica di Gauss diventa:

 

con elemento di superficie:

 

e area calcolabile immediatamente:

 

Seconda forma differenziale di GaussModifica

Facendo riferimento alle superfici parametriche si può ricavare per ogni punto della superficie di rotazione i versori normali:

 

I coefficienti della seconda forma differenziale di Gauss diventano se ricaviamo le derivate parziali seconde:

 
 
 

otteniamo:

 

 

 

Voci correlateModifica

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Collegamenti esterniModifica

* Casi d'intersezione tra Superfici di rotazione

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