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In matematica con il termine sviluppo asintotico, o con gli equivalenti serie asintotica e sviluppo di Poincaré si intende una serie formale di funzioni, non necessariamente convergente, tale che, troncata ad un numero finito di termini, fornisce un'approssimazione di una data funzione per un valore particolare.

Indice

Definizione matematicaModifica

Sia   una successione di funzioni continue in un dato dominio tali che valga, per ogni n (secondo la notazione di Landau):

  dove   è un punto del dominio.

Data   una funzione continua in  , è possibile determinare dei coefficienti   tali che valga per ogni N:

 

La serie ottenuta   si definisce sviluppo asintotico di   in   rispetto alle funzioni  .

Analogamente si può scrivere:

 

Bisogna notare che i coefficienti della serie tali da soddisfare le suddette condizioni sono univocamente determinati dalla relazione:

 

In questo modo le serie asintotiche risultano essere una generalizzazione delle Serie di Taylor. Tra i metodi per costruire tali sviluppi vi sono la formula di Euler-Maclaurin e trasformate integrali quali la trasformata di Laplace e la trasformata di Mellin. Spesso si riesce ad individuare uno sviluppo asintotico effettuando ripetute integrazioni per parti.

Un esempio esplicativoModifica

Si consideri la seguente funzione integrale:

 

Cerchiamo il suo sviluppo asintotico per  . In questo caso la soluzione si trova direttamente sfruttando l'identità della Serie geometrica:

 

sostituendo questa espressione si ottiene immediatamente che:

 

dove  

Questa espressione soddisfa tutte le suddette proprietà, quindi è possibile concludere che:

 

Lo stesso sviluppo si ottiene anche applicando più volte l'integrazione per parti o con il metodo asintotico di Laplace.

Sviluppi asintotici notevoliModifica

 
 
 

dove i   sono i numeri di Bernoulli ed   denota un fattoriale crescente. Questo sviluppo è valido per tutti gli s complessi e si usa spesso per calcolare la funzione zeta utilizzando un valore abbastanza elevato di N, ad esempio  .

 

ConvergenzaModifica

La convergenza della serie asintotica   può essere studiata agevolmente ricorrendo al criterio della radice o al criterio del rapporto.

Convergenza puntualeModifica

Se si è interessati alla convergenza puntuale, per ogni x fissato la serie asintotica diventa una serie numerica, la quale converge (condizione sufficiente) se converge assolutamente, cioè se converge la serie  . A questa serie si può applicare il criterio della radice o quello del rapporto se:

       oppure       

Nel caso in cui esista il limite:

       oppure       

allora le condizioni sufficienti per la convergenza assoluta della serie asintotica diventano:

       oppure       

Quindi condizione sufficiente affinché la serie asintotica converga in A è quella di prendere:

 

Convergenza uniformeModifica

Volendo stabilire se la serie asintotica converge uniformemente in  , si può considerare che condizione sufficiente è che essa converga totalmente, ovvero che converga la serie  .

Posto:

 

applicando il criterio della radice o quello del rapporto la condizione sufficiente per la convergenza di questa serie è:

       oppure       

Serie di potenzeModifica

Il caso più notevole e importante è quello delle serie di potenze:

 

in cui si ha:

 

per cui possiamo prendere:

 

Inoltre, se si considera un intervallo del tipo:

 

si ha:

 

da cui:

 

per cui la serie converge uniformemente in ogni intervallo chiuso contenuto nell'intervallo aperto su cui converge puntualmente.

Metodi per calcolare gli sviluppi asintoticiModifica

 
è uguale a:
  • Se   è stazionario in un unico punto  
 
  • Se   possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite inferiore dell'integrale  
 
  • Se   possiede un solo punto stazionario corrispondente al limite superiore dell'integrale  
 
  • Metodo di Laplace [1]
 
Con f(t) e g(t) due funzioni definite in [a,b], finito o semi-infinito tali che:
  •   in ogni intervallo che non contiene  
  •   è continuamente differenziabile due volte in un intorno di  
  •   è continua in un intorno di  
  • L'integrale è assolutamente convergente per  

BibliografiaModifica

  • N. Bleistein, R. A. Handelsman (1986): Asymptotic expansions of integrals, Dover
  • F. W. J. Olver (1974): Introduction to Asymptotics and Special Functions, Academic Press
  • R. B. Paris, D. Kaminsky (2001): Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press
  • E. T. Copson (2004): Asymptotic Expansions, Cambridge University Press
  • E. Whittaker, G. N. Watson (1963): A Course in Modern Analysis, IV ed., Cambridge University Press (I ed., p. 150, 1915)

Note
  1. ^ Carlo Bernardi Orlando Ragnisco Paolo Maria Santini, Metodi Matematici per la Fisica, p. 204.
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  • Carlo Bernarnidi Orlando Ragnisco Paolo Maria Santini, Metodi Matematici della Fisica, Carocci, 2014 [1993], ISBN 978-88-430-1517-7.

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