Taglio (topologia)

Nella branca della geometria dedicata alla topologia, è operazione comune tagliare e incollare alcuni spazi topologici per crearne di nuovi. Questa operazione è particolarmente utile nel caso in cui gli spazi topologici siano delle varietà. Si tratta quindi di un'operazione usata comunemente in topologia differenziale e nella topologia della dimensione bassa.

TagliareModifica

L'operazione di taglio è definita soprattutto nell'ambito della topologia differenziale e quindi delle varietà differenziabili.

VarietàModifica

Sia   una varietà differenziabile e   una sua sottovarietà differenziabile compatta, di codimensione 1 (cioè  ). Entrambe le varietà possono avere bordo: si richiede però che   sia propriamente immersa, cioè che

 

Per il teorema dell'intorno tubolare, esiste un intorno tubolare aperto   di  . L'operazione di taglio lungo   consiste nella rimozione di   da  . In altre parole, lo spazio   ottenuto tagliando   lungo   è lo spazio

 

Lo spazio   è una nuova varietà differenziabile con bordo. Non dipende dalla scelta di   (poiché l'intorno tubolare è unico a meno di isotopia ambiente).

OrientabilitàModifica

Si considera il caso in cui   non ha bordo, ed è quindi interamente contenuta nell'interno di  .

Se   e   sono entrambe orientabili, l'intorno tubolare   è un prodotto  . Il bordo   della nuova varietà   ha quindi due componenti in più di  , entrambe diffeomorfe a  .

 
Tagliando un nastro di Möbius lungo il cuore, si ottiene un anello.

Senza queste ipotesi di orientabilità,   può non essere un prodotto: in questo caso, il "taglio" non separa effettivamente l'intorno   in due pezzi distinti, ma in un pezzo solo, e quindi   ha una sola componente in più di  . Questo è il caso ad esempio se viene tagliato il cuore del nastro di Möbius: il risultato è un anello, il cui bordo ha 2 componenti, mentre il nastro di Möbius ne ha una sola.

EsempiModifica

 
Tagliando una sfera lungo l'equatore si ottengono due calotte (colorate qui in rosso e blu), ciascuna delle quali è diffeomorfa ad un disco.

Tagliando una sfera

 

lungo l'equatore

 

si ottengono due calotte sferiche, ciascuna delle quali è diffeomorfa al disco

 

Altri spaziModifica

L'operazione di taglio in spazi topologici arbitrari è definita analogamente quando un sottospazio   di uno spazio topologico   ha una nozione di "intorno tubolare" simile a quella valida per le varietà differenziabili. Se   e   sono complessi simpliciali, questa nozione esiste e si chiama intorno regolare.

IncollareModifica

Definizione generaleModifica

L'operazione di incollamento in topologia è più generale. Si applica in presenza di due spazi topologici qualsiasi   e  , contenenti due sottospazi   e  , collegati da un omeomorfismo

 

In questo caso, lo spazio   ottenuto incollando   e   lungo   è lo spazio quoziente

 

dove   è la relazione di equivalenza sull'unione disgiunta di   e   indotta da   che identifica   e  . Più precisamente,

 

VarietàModifica

Se   e   sono due varietà con bordo e gli insiemi   e   sono due sottovarietà compatte (con o senza bordo) contenute rispettivamente in   e  , il risultato dell'incollamento   è nuovamente una varietà con bordo. Nel caso in cui le varietà iniziali e la mappa   siano differenziabili, lo sarà anche  .

Se   è ottenuta da   tagliando lungo un'ipersuperficie con intorno tubolare prodotto, questa ha due componenti di bordo in più. Incollando queste due componenti di bordo opportunamente, si ottiene nuovamente  .

EsempiModifica

Incollando due dischi (cioè due varietà omeomorfe a  ) si ottiene sempre una sfera (cioè una varietà omeomorfa a  ), a prescindere dalla scelta della  .

La somma connessa è un'operazione tra varietà della stessa dimensione, che consiste di due fasi: nella prima si rimuovono delle palle aperte, e quindi si incollano le due nuove sfere di bordo.

In dimensione 3, la chirurgia di Dehn consiste nel tagliare e reincollare lungo tori. In questo caso, il risultato dipende dalla scelta della funzione di incollamento, ma è sufficiente fissare un numero razionale per determinare la varietà risultante.

Voci correlateModifica

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