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L'andamento di una determinata variabile nel tempo può essere espresso mediante un numero indice, dato dal rapporto tra il valore al tempo e quello al tempo , , oppure mediante il tasso di crescita, dato dal rapporto tra l'incremento di dal tempo al tempo ed il suo valore al tempo :

Ad esempio, il PIL reale italiano (anno di riferimento il 2000) è passato da 1.232.773 milioni di euro nel 2005 a 1.255.848 milioni di euro nel 2006,[1] con un tasso di crescita pari a 0,0187 (1,87%):

Il numero indice è invece (a meno dell'abituale moltiplicazione per 100):

Indice

Tasso di crescita di un prodotto di variabiliModifica

Se la variabile che ci interessa è il prodotto di due altre variabili, il suo tasso di crescita è approssimativamente uguale alla somma dei tassi di crescita dei due fattori.

Ad esempio, il valore   di un bene è dato dal prodotto del prezzo unitario   per la quantità   e si ha:

 

Infatti:

 

da cui:

 

in quanto, tipicamente, il prodotto di due tassi di crescita significativamente minori di 1 è molto piccolo.

Tasso di crescita di una somma di due variabiliModifica

Se la variabile che interessa è la somma di due altre variabili, il suo tasso di crescita è uguale alla somma dei tassi di crescita dei due addendi, ponderati con le rispettive quote al periodo iniziale.

Ad esempio, il totale delle forze di lavoro   in Italia è aumentato, dal I trimestre 2011 al I trimestre 2012, da 24.402 a 24.931 migliaia di unità, con un tasso di incremento pari a 0,022 (2,2%). L'aumento è stato determinato dal simultaneo aumento degli occupati   (da 22.846 a 23.170 migliaia di unità) e delle persone in cerca di occupazione   (da 1.556 a 1.761 migliaia di unità).[2] Si ha:

 

dove i due addendi sono detti contributi alla crescita di   da parte, rispettivamente, di   e di  .

Nell'esempio considerato si ha:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Tasso di crescita medioModifica

Se si conoscono i tassi di crescita di una variabile   in più periodi, si può calcolare il tasso di crescita medio dal periodo iniziale al periodo finale.

A tale scopo, si considera che il numero indice dal tempo   al tempo   è il prodotto dei numeri indice a base mobile di ciascun periodo:

 

Il numero indice a base mobile medio è la media geometrica di quelli noti. Per ottenere il tasso di crescita medio basta sottrarre  .

Ad esempio, il PIL reale italiano ha fatto registrare il seguente andamento:

2002 2003 2004 2005 2006
PIL 1.216.588 1.217.040 1.231.689 1.232.773 1.255.848
Numeri indice a base mobile   1,0004 1,0120 1,0009 1,0187

Il numero indice a base mobile medio è:  , per un tasso di crescita medio annuo pari a 0.0080 (0.8%).

Infatti, partendo dal valore del 2002 si ottiene:  .

Se invece si conoscessero solo il valore iniziale e quello finale:

 

da cui i = 0.0080.

Tasso di crescita istantaneoModifica

Fin qui è stato descritto il tasso di crescita nel discreto, utile quando si dispone di serie storiche  . Se invece si desidera modellizzare la crescita nel continuo di una variabile teorica, può essere utile far riferimento al tasso di crescita istantaneo, rappresentato dal limite del rapporto incrementale quando l'intervallo temporale tende a zero:

 

dove

 

Tale formalizzazione consente l'utilizzo degli strumenti del calcolo per descrivere l'evoluzione della variabile nel tempo continuo.

NoteModifica

  1. ^ ISTAT, Annuario statistico italiano 2007, Roma, 2007, Cap. 12, Prospetto 12.1, pag. 306.
  2. ^ ISTAT, Rilevazione sulle forze di lavoro I trimestre 2008.

Voci correlateModifica

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