Tempo proprio
In fisica, la durata di un fenomeno misurata in un sistema di riferimento solidale al fenomeno si chiama intervallo di tempo proprio o, in breve, tempo proprio. È dunque indipendente dalle coordinate ed è uno scalare di Lorentz, ossia invariante per trasformazioni di Lorentz.
Il concetto, introdotto nel 1908 da Hermann Minkowski[1], è l’analogo spaziotemporale della lunghezza di un arco nello spazio euclideo tridimensionale. Esso consente di parametrizzare il tempo misurato da un osservatore fermo rispetto ad un altro osservatore in moto ed è informalmente definito come il tempo trascorso tra due eventi misurato da un orologio che passa attraverso entrambi.
La necessità di utilizzare questa grandezza è sorta in seguito alla teoria della relatività ristretta, in cui la misura di un intervallo temporale in un sistema di riferimento in quiete è minore della stessa misura compiuta a sistema incipiente, ovvero in un sistema di riferimento in accelerazione (dilatazione del tempo).
Definizione
modificaRelatività ristretta
modificaSi consideri un orologio che si muove con velocità costante e un sistema di riferimento cartesiano inerziale solidale con esso. Rispetto ad un secondo sistema di riferimento a riposo, in un tempo l'orologio compie un percorso la cui lunghezza è data da , dove , e sono variazioni infinitesime della posizione dell'orologio nel sistema fermo. Poiché in relatività speciale l'intervallo spazio-temporale che resta invariato tra due sistemi in moto relativo uniforme è dato da:
dove è l'intervallo temporale nel sistema in moto, l'intervallo di tempo misurato dall'orologio in moto è dato dall'integrale di lungo la sua linea di universo. Tale integrale è massimo se la linea di universo interessata è una retta. Dalla precedente relazione si ricava:
dove:
è la velocità del sistema in moto. Si ha pertanto:
Il tempo proprio misurato dall'orologio in moto è definito per una velocità arbitraria nel seguente modo:[2]
dove è la velocità al tempo , mentre , e sono le coordinate spaziali.
Se il tempo e le coordinate spaziali sono parametrizzate da , si può scrivere:
In forma differenziale tale espressione diventa un integrale di linea:
dove è il cammino seguito dall'orologio nel sistema di riferimento.
La quantità è così invariante in seguito ad una trasformazione di Lorentz. Una grandezza che si conserva in tal modo è detta invariante di Lorentz, e l'insieme di trasformazioni che lasciano invariato è il gruppo di Lorentz.[3]
Relatività generale
modificaLa teoria della relatività generale consente di generalizzare i risultati della relatività ristretta utilizzando il formalismo tensoriale. Si consideri uno spaziotempo descritto da una varietà pseudo-riemanniana, caratterizzata da un tensore metrico , nella quale è definito un sistema di coordinate . L'intervallo tra due eventi distanti è dato da:
dove può essere di genere spazio, di genere luce o di genere tempo a seconda che sia rispettivamente minore, uguale o maggiore di zero. Nel primo caso l'intervallo non può essere attraversato poiché richiederebbe una velocità superiore alla velocità della luce , nel secondo caso la velocità necessaria è esattamente e la conversione al tempo proprio è banale, nel terzo caso è consentito l'attraversamento di oggetti massivi. Considerando la radice quadrata di entrambi i membri dell'elemento di linea si ha che il tempo proprio misurato dall'orologio in moto lungo un cammino di genere tempo è dato dall'integrale di linea:
dove:
in cui si è usata la notazione di Einstein.
Esempio
modificaNello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. Inoltre, la sua norma è solitamente posta uguale alla velocità della luce c, e cambia solo la direzione.
In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate , con , espresse in funzione del tempo :
dove è l'i-esima componente della posizione al tempo . Le componenti della velocità nel punto tangente alla traiettoria sono:
dove le derivate sono valutate in .
Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono , con , in cui è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio :
Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:
la quadrivelocità relativa a è definita come:
Note
modifica- ^ Hermann Minkowski, Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern, in Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen, Göttingen, 1908, pp. 53–111. URL consultato il 18 gennaio 2013 (archiviato dall'url originale l'8 luglio 2012).
- ^ Jackson, Pag. 528.
- ^ Jackson, Pag. 527.
Bibliografia
modifica- (EN) Albert Einstein, Relativity: The Special and the General Theory, New York, Three Rivers Press, 1995, ISBN 0-517-88441-0.
- (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
- Callender, Craig & Edney, Ralph, Introducing Time, Icon, 2001, ISBN 1-84046-592-1.
Voci correlate
modificaCollegamenti esterni
modifica- (EN) Testo della teoria della relatività di Einstein, su bartleby.com.
- (EN) Progetto Beyond Einstein della NASA, su universe.nasa.gov.
- NIST Two way time transfer for satellites, su tf.nist.gov. URL consultato il 3 ottobre 2008 (archiviato dall'url originale il 29 maggio 2017).
- Time Dilation Demonstration Applet, su walter-fendt.de. URL consultato il 3 ottobre 2008 (archiviato dall'url originale il 19 dicembre 2008).
- UK National Physical Laboratory reports replication of Hefele-Keating experiment (PDF), su npl.co.uk. URL consultato il 3 ottobre 2008 (archiviato dall'url originale il 30 ottobre 2008).