Tempo proprio

In fisica, il tempo proprio è il tempo misurato da un osservatore nel sistema di riferimento solidale con sé stesso. È dunque indipendente dalle coordinate ed è uno scalare di Lorentz (è invariante per trasformazioni di Lorentz).

La linea blu verticale rappresenta un osservatore inerziale che misura un intervallo di tempo t tra due eventi E1 e E2. La curva rossa rappresenta un orologio che misura il tempo τ trascorso nel suo sistema di riferimento tra gli stessi eventi.

Il concetto, introdotto nel 1908 da Hermann Minkowski[1], è l’analogo spaziotemporale della lunghezza di un arco nello spazio euclideo tridimensionale. Esso consente di parametrizzare il tempo misurato da un osservatore fermo rispetto ad un altro osservatore in moto ed è informalmente definito come il tempo trascorso tra due eventi misurato da un orologio che passa attraverso entrambi.

La necessità di utilizzare questa grandezza è sorta in seguito alla teoria della relatività ristretta, in cui la misura di un intervallo temporale in un sistema di riferimento in quiete è maggiore della stessa misura compiuta a sistema incipiente, ovvero in un sistema di riferimento in accelerazione (dilatazione del tempo).

DefinizioneModifica

Relatività ristrettaModifica

Si consideri un orologio che si muove con velocità costante e un sistema di riferimento cartesiano inerziale solidale con esso. Rispetto ad un secondo sistema di riferimento a riposo, in un tempo   l'orologio compie un percorso la cui lunghezza è data da  , dove  ,   e   sono variazioni infinitesime della posizione dell'orologio nel sistema fermo. Poiché in relatività speciale l'intervallo spazio-temporale che resta invariato tra due sistemi in moto relativo uniforme è dato da:

 

dove   è l'intervallo temporale nel sistema in moto, l'intervallo di tempo misurato dall'orologio in moto è dato dall'integrale di   lungo la sua linea di universo. Tale integrale è massimo se la linea di universo interessata è una retta. Dalla precedente relazione si ricava:

 

dove:

 

è la velocità del sistema in moto. Si ha pertanto:

 

Il tempo proprio   misurato dall'orologio in moto è definito per una velocità arbitraria nel seguente modo:[2]

 

dove   è la velocità al tempo  , mentre  ,   e   sono le coordinate spaziali.

Se il tempo e le coordinate spaziali sono parametrizzate da  , si può scrivere:

 

In forma differenziale tale espressione diventa un integrale di linea:

 

dove   è il cammino seguito dall'orologio nel sistema di riferimento.

La quantità   è così invariante in seguito ad una trasformazione di Lorentz. Una grandezza che si conserva in tal modo è detta invariante di Lorentz, e l'insieme di trasformazioni che lasciano invariato   è il gruppo di Lorentz.[3]

Relatività generaleModifica

La teoria della relatività generale consente di generalizzare i risultati della relatività ristretta utilizzando il formalismo tensoriale. Si consideri uno spaziotempo descritto da una varietà pseudo-riemanniana, caratterizzata da un tensore metrico  , nella quale è definito un sistema di coordinate  . L'intervallo   tra due eventi distanti   è dato da:

 

dove   può essere di genere spazio, di genere luce o di genere tempo a seconda che   sia rispettivamente minore, uguale o maggiore di zero. Nel primo caso l'intervallo non può essere attraversato poiché richiederebbe una velocità superiore alla velocità della luce  , nel secondo caso la velocità necessaria è esattamente   e la conversione al tempo proprio è banale, nel terzo caso è consentito l'attraversamento di oggetti massivi. Considerando la radice quadrata di entrambi i membri dell'elemento di linea si ha che il tempo proprio   misurato dall'orologio in moto lungo un cammino di genere tempo   è dato dall'integrale di linea:

 

dove:

 

in cui si è usata la notazione di Einstein.

EsempioModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Quadrivelocità.

Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. Inoltre, la sua norma è solitamente posta uguale alla velocità della luce c, e cambia solo la direzione.

In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate  , con  , espresse in funzione del tempo  :

 

dove   è l'i-esima componente della posizione al tempo  . Le componenti della velocità   nel punto   tangente alla traiettoria sono:

 

dove le derivate sono valutate in  .

Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono  , con  , in cui   è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio  :

 

Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:

 

la quadrivelocità relativa a   è definita come:

 

NoteModifica

  1. ^ Hermann Minkowski, Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern, in Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen, Göttingen, 1908, pp. 53–111. URL consultato il 18 gennaio 2013 (archiviato dall'url originale l'8 luglio 2012).
  2. ^ Jackson, Pag. 528.
  3. ^ Jackson, Pag. 527.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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