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Il tensore di Einstein esprime la curvatura dello spaziotempo nell'equazione di campo di Einstein per la gravitazione in teoria della relatività generale.

Indice

DefinizioneModifica

Il tensore di Einstein è definito come

 

In questa espressione   è il tensore di Ricci,   è il tensore metrico e   è la curvatura scalare. Per ottenere il tensore di Einstein si contrae due volte la seconda identità di Bianchi

 

Contraendo gli indici e tenendo conto dell'antisimmetria del tensore di Riemann, si ottiene

 

Contraendo l'indice  , assimilando il secondo e il terzo termine e cambiando i segni abbiamo

 

Facendo uso della relazione  , possiamo riscrivere l'equazione precedente come[1][2]

 

che è detta seconda identità di Bianchi contratta due volte. Moltiplicando entrambi i membri per   abbiamo

 

ovvero

 

Abbassando gli indici, e tenendo conto che sia il tensore metrico che il tensore di Ricci sono simmetrici, possiamo scrivere

 

La quantità tra parentesi coincide con la definizione di   data sopra.

ProprietàModifica

Derivata covarianteModifica

La proprietà cruciale che caratterizza il tensore di Einstein è l'identità

 

conseguenza della seconda identità di Bianchi. In altre parole, il tensore di Einstein ha divergenza nulla.

Questa proprietà può essere dimostrata nel modo seguente. La seconda identità di Bianchi recita:

 

Possiamo contrarre due volte questa uguaglianza usando il tensore metrico inverso:

 

e otteniamo

 

In altre parole:

 

L'ultima equazione è possibile riscriverla nella forma:

 

che risulta essere identica alle classiche identità di Bianchi contratte pubblicate per la prima volta dal matematico tedesco Aurel Voss nel 1880[3].

TracciaModifica

La traccia del tensore di Ricci è la curvatura scalare  . La traccia   del tensore di Einstein in dimensione   può essere calcolata nel modo seguente:

 

In dimensione   il tensore di Einstein ha quindi traccia  , opposta a quella del tensore di Ricci.

In dimensione   (varietà conformemente piatta) il tensore di Einstein ha traccia nulla.

NoteModifica

  1. ^ (EN) J.L. Synge e A. Schild, Tensor Calculus, first Dover Publications 1978 edition, 1949, p. 89, ISBN 978-0-486-63612-2.
  2. ^ (EN) A. Papapetrou, Lectures on General Relativity, D. Reidel Publishing Company, 1974, p. 42, ISBN 90-277-0540-2.
  3. ^ (DE) Aurel Voss, Zur Theorie der Transformation quadratischer Differentialausdrücke und der Krümmung höherer Mannigfaltigketien, in Mathematische Annalen, vol. 16, 1880, pp. 129–178.

BibliografiaModifica

  • (EN) J.L. Synge e A. Schild, Tensor Calculus, first Dover Publications 1978 edition, 1949, ISBN 978-0-486-63612-2.
  • (EN) J.R. Tyldesley, An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5.
  • (EN) D.C. Kay, Tensor Calculus, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, ISBN 0-07-033484-6.
  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) A. Papapetrou, Lectures on General Relativity, D. Reidel Publishing Company, 1974, ISBN 90-277-0540-2.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.