Teorema dei seni

In trigonometria, il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.

Un triangolo generico con le comuni notazioni

Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.

Vale quindi

dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e

è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro p grazie alla formula di Erone.

La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo:

.

ApplicazioniModifica

 
Risoluzione di un triangolo con il teorema dei seni

Il teorema può essere adoperato

  • per determinare il raggio del cerchio circoscritto:
 
  • per la risoluzione di un triangolo dati un angolo, un lato adiacente all'angolo e il lato opposto (vedere figura a lato):
 .

Generalizzazione alle geometrie non euclideeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Geometrie non euclidee.
 
Triangolo sferico: dimensioni ridotte a, b e c; angoli α, β e γ

Per una superficie non euclidea dalla curvatura K, il raggio di curvatura ρ è

 .

Si definiscono quindi le dimensioni ridotte del triangolo:

 ,
 ,
 .

Nel caso di un triangolo sferico, a, b e c corrispondono alle misure angolari dei segmenti degli archi grandi [BC], [AC] e [AB] (vedere figura).

Geometria sfericaModifica

In un triangolo sferico ABC tracciato sulla sfera di centro O e di raggio ρ, il teorema del seno è espresso da

 ,

dove VOABC è il volume del tetraedro OABC.

Geometria iperbolicaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Geometria iperbolica.

In un triangolo iperbolico, il teorema dei seni si esprime con

 .

Generalizzazione al tridimensionale (euclideo)Modifica

 
Tetraedro: facce ed angoli diedri

Si consideri un tetraedro A1A2A3A4 nello spazio tridimensionale. La figura di lato mostra un tetraedro proiettato su un piano e indica le notazioni di vertici, facce e angoli del tetraedro:

  • Sk la faccia opposta al vertice Ak;
  • sk la superficie di Sk;
  • Δk il piano su cui giace Sk;
  • θij l'angolo diedro  .

Il seno dell'angolo triedro in corrispondenza del vertice A1 si definisce nel modo seguente:

 ;

E in modo analogo per gli altri angoli triedri.

Vale quindi

 ,

dove V è il volume del tetraedro.

Voci correlateModifica

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