Teorema della base di Hilbert

In matematica, il teorema della base di Hilbert è un risultato dell'algebra commutativa, fondamentale nello studio degli anelli noetheriani. Esso afferma che, se è noetheriano, allora l'anello dei polinomi è ancora noetheriano; ricorsivamente, questo dimostra che , così come ogni -algebra finitamente generata, è un anello noetheriano.

Il teorema è stato dimostrato per la prima volta da David Hilbert nel 1888 nel caso in cui è un campo, e poi generalizzato nella forma attuale da Emmy Noether. Una dimostrazione costruttiva (a differenza di quella di Hilbert) fu data da Paul Gordan nel 1900.[1]

Il risultato è anche importante in geometria algebrica, in quanto dimostra che ogni insieme algebrico può essere definito da un numero finito di equazioni polinomiali.

DimostrazioneModifica

Supponiamo per assurdo che   non sia noetheriano; allora, esiste un ideale   non finitamente generato. Costruiamo una successione   di polinomi nel modo seguente:

  •   è un elemento di   di grado minimo (tra gli elementi di  );
  •   è un elemento di   di grado minimo tra gli elementi di  .

Sia   il coefficiente direttore di  , e sia   il grado di  .

Sia   l'ideale di   generato dagli  ; poiché   è noetheriano,   è finitamente generato. In particolare,   è generato da   per un certo intero  .

In particolare, si può scrivere  ; consideriamo il polinomio

 .

Per definizione,   appartiene a  ; inoltre,   è un polinomio di grado   il cui coefficiente direttore è  . In particolare, il polinomio

 

è un polinomio di grado   che appartiene a   (perché vi appartengono sia   che  ) ma non a   (perché vi appartiene   ma non  ). Questo tuttavia contrasta con la scelta di   come polinomio di grado minimo in  : di conseguenza,   deve essere un ideale finitamente generato, e   è un anello noetheriano.

NoteModifica

  1. ^ (FR) Paul Gordan, Les invariants des formes binaires, in Journal de mathématiques pures et appliquées 5e série, vol. 6, 1900, pp. 141-156.

BibliografiaModifica

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