Teorema della base di Hilbert

In matematica, il teorema della base di Hilbert è un risultato dell'algebra commutativa, fondamentale nello studio degli anelli noetheriani. Esso afferma che, se $A$ è noetheriano, allora l'anello dei polinomi $A[x]$ è ancora noetheriano; ricorsivamente, questo dimostra che $A[x_{1},\ldots ,x_{n}]$, così come ogni $A$-algebra finitamente generata, è un anello noetheriano.

Il teorema è stato dimostrato per la prima volta da David Hilbert nel 1888 nel caso in cui $A$ è un campo, e poi generalizzato nella forma attuale da Emmy Noether. Una dimostrazione costruttiva (a differenza di quella di Hilbert) fu data da Paul Gordan nel 1900.

Il risultato è anche importante in geometria algebrica, in quanto dimostra che ogni insieme algebrico può essere definito da un numero finito di equazioni polinomiali.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che $A[x]$ non sia noetheriano; allora, esiste un ideale $I\subseteq A[x]$ non finitamente generato. Costruiamo una successione $p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n},\ldots$ di polinomi nel modo seguente:

• $p_{0}$ è un elemento di $I$ di grado minimo (tra gli elementi di $I$);
• $p_{n}$ è un elemento di $I\setminus (p_{0},\ldots ,p_{n-1})$ di grado minimo tra gli elementi di $I\setminus (p_{0},\ldots ,p_{n-1})$.

Sia $a_{i}$ il coefficiente direttore di $p_{i}$, e sia $d_{i}$ il grado di $p_{i}$.

Sia $J$ l'ideale di $A$ generato dagli $a_{i}$; poiché $A$ è noetheriano, $J$ è finitamente generato. In particolare, $J$ è generato da $a_{0},\ldots ,a_{N-1}$ per un certo intero $N$.

In particolare, si può scrivere $a_{N}=\sum _{i=0}^{N-1}e_{i}a_{i},\ e_{i}\in A$; consideriamo il polinomio

$q(x):=\sum _{i=0}^{N-1}e_{i}x^{d_{N}-d_{i}}p_{i}(x)$.

Per definizione, $q(x)$ appartiene a $(p_{0},\ldots ,p_{N-1})$; inoltre, $q(x)$ è un polinomio di grado $d_{N}$ il cui coefficiente direttore è $\sum _{i=0}^{N-1}e_{i}a_{i}=a_{N}$. In particolare, il polinomio

$q(x)-p_{N}(x)$

è un polinomio di grado $d_{N}-1$ che appartiene a $I$ (perché vi appartengono sia $q(x)$ che $p_{N}(x)$) ma non a $(p_{0},\ldots ,p_{N-1})$ (perché vi appartiene $q(x)$ ma non $p_{N}(x)$). Questo tuttavia contrasta con la scelta di $p_{N}$ come polinomio di grado minimo in $I\setminus (p_{0},\ldots ,p_{N-1})$: di conseguenza, $I$ deve essere un ideale finitamente generato, e $A[x]$ è un anello noetheriano.

Bibliografia

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
• (EN) David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.