Teorema della convergenza monotona

In matematica, per teorema della convergenza monotona si identificano diversi teoremi relativi alla convergenza di successioni o serie.

Successioni di numeri realiModifica

Nel caso di successioni di numeri, il teorema della convergenza monotona afferma che se   è una successione monotona di numeri reali, allora la successione converge se e solo se è limitata.

La dimostrazione del fatto che se una successione monotona converge allora essa è limitata, viene dal fatto che ogni successione convergente è limitata (i dettagli della dimostrazione sono indicati qui).

L'implicazione inversa, cioè che se una successione monotona è limitata allora essa converge, si dimostra nel modo seguente: prendiamo una successione monotona crescente (nel caso di successioni decrescenti la dimostrazione è analoga) e chiamiamo   l'immagine della successione   . La limitatezza fa sì che esista finito un elemento

 

tale che per ogni elemento della successione vale  . Scelto un   arbitrario, esiste un indice   tale che

 

perché   non è maggiorante di  . Se quindi scegliamo un indice  , la monotonia della successione implica   e quindi vale

 

Dall'arbitrarietà di   segue la convergenza di   a  .

Serie di numeriModifica

Nel caso di serie di numeri, il teorema della convergenza monotona afferma che se per ogni coppia di numeri naturali j e k il numero   è reale e non negativo e  , allora:[1]

 

Successioni di funzioniModifica

Nel caso di successioni di funzioni, il teorema della convergenza monotona, anche detto teorema di Beppo Levi, afferma che se   è uno spazio di misura e   una successione di funzioni misurabili su   tale che:

 
 

allora   è misurabile in   e:[2]

 

dove l'integrale è di Lebesgue. Si noti che il valore di ogni integrale può essere infinito.

DimostrazioneModifica

Sia   una successione non decrescente di funzioni misurabili non negative e si ponga:

 

Per la proprietà di monotonìa dell'integrale, è immediato vedere che:

 

Si vuole provare la diseguaglianza nell'altra direzione, cioè:

 

Dalla definizione di integrale segue che esiste una successione non decrescente   di funzioni semplici non negative che convergono puntualmente a   quasi ovunque e tali che:

 

Perciò basta provare che per ogni   si ha:

 

Si vuole provare che se   è una funzione semplice e:

 

quasi ovunque, allora:

 

Spezzando la funzione   nelle sue parti a valori costanti, questo si riduce al caso in cui   è la funzione indicatrice di un insieme. Il risultato che si vuole provare è il seguente. Si supponga che   sia un insieme misurabile e   sia una successione non descrescente di funzioni misurabili su   tali che:

 

per quasi tutti gli  . Allora:

 

Per provare questo risultato si fissi ε > 0 e si definisca la successione di insiemi misurabili:

 

Per la monotonìa dell'integrale, segue che per ogni   si ha:

 

Per ipotesi:

 

a meno di un insieme di misura 0. Quindi per l'addittività numerabile di   :

 

Poiché questo è vero per ogni ε positivo, segue la tesi.

NoteModifica

  1. ^ J Yeh, Real analysis. Theory of measure and integration, 2006.
  2. ^ W. Rudin, Pag. 21.

BibliografiaModifica

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica