Teorema della divergenza

In matematica e fisica, il teorema della divergenza, detto anche teorema di Ostrogradskij per il fatto che la prima dimostrazione è dovuta a Michail Ostrogradskij, è la generalizzazione a domini -dimensionali del teorema fondamentale del calcolo integrale. A sua volta, esso è un caso speciale del più generale teorema di Stokes.

Talvolta il teorema è meno propriamente detto teorema di Gauss poiché fu storicamente congetturato da Carl Gauss, da non confondere col teorema di Gauss-Green, che invece è un caso speciale (ristretto a 2 dimensioni) del teorema del rotore, o con il teorema del flusso.

Indice

Cenni storiciModifica

Il teorema è stato enunciato per la prima volta da Giuseppe Luigi Lagrange nel 1762; Carl Friedrich Gauss (1813) e George Green (1825) ne forniscono formulazioni equivalenti in maniera del tutto indipendente. La prima dimostrazione appare però solo nel 1831 ad opera di Michail Ostrogradskij.

EnunciatoModifica

 
Una regione   delimitata da  , con   il versore normale uscente.

Si consideri un insieme   compatto delimitato da una superficie liscia  . Se   è un campo vettoriale differenziabile con continuità (di classe  ) definito in un intorno di  , si ha:[1]

 

dove   è l'elemento di superficie. In altri termini, il flusso di   attraverso la superficie chiusa   coincide con l'integrale della divergenza di   svolto nel volume   di cui la superficie è frontiera.[2] Il termine a sinistra è pertanto un integrale di volume su  , quello a destra è un integrale di superficie. Il vettore   è il versore uscente normale alla superficie.

In modo più generale, si può utilizzare il teorema di Stokes per uguagliare l'integrale su un volume n-dimensionale della divergenza di un campo vettoriale   definito sulla regione   all'integrale di   sulla superficie (di dimensione n-1) che costituisce il bordo di  :

 

In una notazione più concisa si può scrivere:

 

sicché rimpiazzando   con un campo tensoriale   di ordine n si ottiene la generalizzazione:[3]

 

dove si verifica la contrazione degli indici in entrambi i membri della relazione, per almeno un indice. Si può estendere la precedente relazione, che vale in tre dimensioni, a varietà di dimensione arbitraria.[4][5]

CorollariModifica

Applicando il teorema della divergenza in altri contesti si ottengono utili identità matematiche.[6]

  • Nel caso del prodotto di una funzione scalare   ed un campo vettoriale   si ha:
 
Un caso speciale è  , in cui il teorema è alla base delle identità di Green.
  • Nel caso del prodotto vettoriale di due campi vettoriali  , si ha:
 
  • Nel caso del prodotto di una funzione scalare   ed un vettore non nullo costante, si può mostrare che vale il seguente teorema:[2]
 
  • Nel caso del prodotto vettoriale di un campo vettoriale   ed un vettore non nullo costante, si può mostrare che vale il seguente teorema:[2]
 

Applicazioni geometricheModifica

Dal teorema della divergenza si possono ricavare le formule per trovare la misura di un dominio piano   racchiuso da  :

 

La terza relazione risulta molto utile quando si utilizzano le coordinate polari, dove  .

Dato uno spazio n-dimensionale, la divergenza del vettore posizione è  . Per una palla di dimensione n e raggio   segue che:

 

Quindi, se la palla è una sfera vera e propria, conoscendo il suo volume ( ) è possibile ricavarne la superficie ( ), così come per un cerchio ( ) ricavarne la circonferenza ( ).

Divergenza in coordinate curvilineeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Divergenza.
 
Elemento di volume in coordinate sferiche.

Il teorema della divergenza può essere usato per esprimere la divergenza in un sistema di coordinate curvilinee. Si consideri un riferimento sferico: ogni volta che si varia una coordinata di una quantità infinitesima viene percorso un arco di lunghezza opportuna  . Al variare della distanza radiale   si ha  , al variare dell'angolo   si ha   mentre al variare dell'angolo   si ha che  . Si possono così calcolare i contributi di flusso come nel caso delle coordinate cartesiane. Ad esempio, il flusso attraverso le facce del cubo in figura normali alla direzione radiale è:

 

e formule analoghe valgono per le altre componenti. La divergenza del campo si ottiene dividendo il flusso totale per il volume   del cubo:

 

Questa uguaglianza vale in un generico sistema di riferimento, ma nel caso considerato può essere esplicitata sostituendovi le espressioni che definiscono i coefficienti metrici   in coordinate sferiche (essi rappresentano le lunghezze degli archi elementari rapportate agli incrementi delle coordinate che li hanno prodotti):

 

e relazioni simili sono valide, ad esempio, in coordinate cilindriche.

Equazione di continuitàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di continuità.

La forma differenziale dell'equazione di continuità può essere derivata utilizzando il teorema della divergenza. Si supponga che una quantità   sia contenuta in una regione di volume   il cui contorno è  . Se tale quantità incrementa nel tempo, essa può essere scritta come la somma di quella contenuta nel volume più un incremento:

 

La variazione di   è espressa dalla derivata temporale:

 

ed usando il teorema della divergenza:

 

Tale relazione è vera solo se gli integrandi sono uguali, ovvero:

 

Connessione con altri operatoriModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gradiente e Rotore (matematica).

Si consideri un campo scalare   ed un versore  . Applicando al campo   il teorema della divergenza si ottiene:

 

dove nell'ultima uguaglianza compare l'operatore gradiente. Questo risultato rimane valido se si sostituisce a   un qualunque altro versore della terna ortonormale. Quindi si ha:

 

e la relazione ottenuta riveste una certa utilità in alcuni contesti. Se invece si considera un campo tridimensionale   e il corrispondente prodotto vettoriale  , procedendo in maniera analoga si ottiene una formula simile in funzione del rotore:

 

NoteModifica

  1. ^ M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Vector Analysis (2nd Edition), Schaum's Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7.
  2. ^ a b c Eric Weisstein, MathWorld - Divergence Theorem, su mathworld.wolfram.com, 2010.
  3. ^ K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3.
  4. ^ J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, Gravitation, W.H. Freeman & Co, 1973, pp. 85–86, §3.5, ISBN 0-7167-0344-0.
  5. ^ R. Penrose, The Road to Reality, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1.
  6. ^ M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Vector Analysis, 2nd, Schaum's Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7.

BibliografiaModifica

  • (EN) Georg Joos, Ira M. Freeman. Theoretical Physics. Courier Dover Publications, 1987
  • (EN) R.G. Lerner, G.L. Trigg, Encyclopaedia of Physics, 2nd, VHC publishers, 1994, ISBN 3-527-26954-1.
  • (EN) C.B. Parker, McGraw Hill Encyclopaedia of Physics, 2nd, McGraw Hill, 1994, ISBN 0-07-051400-3.

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