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Il teorema della permanenza del segno è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, ed afferma che se un limite è strettamente positivo allora l'oggetto che vi converge è sempre positivo "da un certo punto in poi" o in un "certo intorno". Si applica soprattutto a successioni e funzioni.

SuccessioniModifica

EnunciatoModifica

Il teorema della permanenza del segno per le successioni afferma che

Una successione   che tende a un limite strettamente positivo   (che può essere anche  ) ha definitivamente soltanto termini positivi. In altre parole, esiste un   tale che   per ogni  .

Analogamente, una successione che tende a un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi.

DimostrazioneModifica

Se   è finito, basta prendere   nella definizione di limite: esiste quindi un   tale che   è nell'intervallo   per ogni  ; poiché  , allora   per ogni  .

Se  , per la definizione di convergenza, dato un   qualsiasi, esiste   tale che   per ogni  .

EsempiModifica

  • La successione
     
    converge ad  , dove   è il numero di Nepero. Il limite   è strettamente positivo, quindi esiste un   tale che   per ogni  .
  • Un teorema di questo tipo non vale se il limite è zero: una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio  
     

FunzioniModifica

Enunciato per una funzione non necessariamente continua in x0.Modifica

 
Poiché f(x0)>0, esiste un intorno U di x0 (in verde) tale che f(x)>0 in U

Sia   una funzione reale a variabile reale definita su un sottoinsieme   dei numeri reali, che ha limite

 

strettamente positivo in un punto   di accumulazione per  .

Allora esiste un intorno   di   tale che   per ogni   in   diverso da  .

DimostrazioneModifica

Poiché   si può porre  . Per l'ipotesi dell'esistenza del limite, e quindi per definizione di limite, esiste certamente in corrispondenza di   un intorno   di   tale che   per ogni   del dominio in  . Quindi, per tali   si ha   , cioè  , pertanto la funzione è positiva in  , escluso al più  .

NotaModifica

Se  , esisterà un intorno   di   in ogni punto del quale, escluso al più  ,   . Nella dimostrazione si dovrà prendere   , risultando così   in   escluso al più  .

Enunciato per una funzione continua in x0 .Modifica

Sia   una funzione reale a variabile reale definita e continua su un sottoinsieme   dei numeri reali, tale che:

 

ove   è un punto di accumulazione per  .

Allora esiste un intorno   di   tale che   per ogni   in  .

DimostrazioneModifica

L'ipotesi di continuità di   implica che:

 

Per ipotesi,  , dunque per il teorema precedente segue l'asserto.

Nota

Se   il limite è negativo, quindi si applichi la nota al teorema precedente per concludere che esiste un intorno   di   tale per cui per ogni   si abbia  .

Osservazione 1Modifica

In questo teorema da   non va escluso   essendo   continua in  

Osservazione 2Modifica

Se   è un intervallo, si può omettere di specificare che   debba essere di accumulazione, perché tutti i punti di un intervallo sono di accumulazione per l'intervallo stesso, inclusi gli estremi che non gli appartengono.

Nota 1Modifica

Se  , esisterà un intorno   di   in ogni punto del quale   . Nella dimostrazione si potrà prendere   , risultando così   in   (da cui non si esclude   per la continuità di   anche in  )

Per mezzo del teorema della permanenza del segno si dimostra il così détto suo "inverso".

Inverso del teorema della permanenza del segno.Modifica

Sia   una funzione reale a variabile reale definita nell'intervallo aperto   e  .

a) Se esiste un intorno   di   in ogni punto del quale, escluso al più   è   allora  

b) Se esiste un intorno   di   in ogni punto del quale, escluso al più   è   allora  

Dimostrazione

a) Negando la tesi, si ha  . Per il teorema della permanenza del segno esiste certamente un intorno   di   in ogni punto del quale, escluso al più  , risulta  . Ma allora in ogni punto   di   risulta sia   (per ipotesi) sia  , ma ciò è assurdo:   non può assumere valori distinti in uno stesso punto   Dunque è  

b) Come in a) mutatis mutandis.

Osservazione 3Modifica

Gli inversi dei teoremi si ottengono, quando è possibile, scambiando ipotesi e tesi. Nell'inverso del teorema della permanenza del segno si fa abuso di linguaggio perché non c'è perfetto scambio tra ipotesi e tesi a causa della presenza del segno uguale.

Nota 2Modifica

Ovviamente nell'enunciato del teorema non si esclude   se   è continua in   . In tale caso, come è noto, è  .

BibliografiaModifica

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