Teorema della proiezione

In matematica, il teorema della proiezione o teorema della proiezione in spazi di Hilbert è un risultato dell'analisi convessa, utilizzato spesso in analisi funzionale, che stabilisce che per ogni punto in uno spazio di Hilbert e per ogni insieme convesso chiuso esiste un unico tale per cui la distanza assume il valore minimo su . In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso di : in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per è che il vettore sia ortogonale a .

DimostrazioneModifica

Per mostrare l'esistenza di  , sia   la distanza tra   e  , sia   una successione in   tale per cui la distanza al quadrato tra   e   è minore o uguale a  . Se   e   sono due interi allora, per la legge del parallelogramma:

 

da cui

 

Considerando il limite superiore ai primi due termini dell'uguaglianza, e notando che i termini della successione tra   e   appartengono a   (e quindi hanno una distanza da   maggiore o uguale a  ), si ottiene:

 

L'ultima disuguaglianza mostra in particolare che   è una successione di Cauchy. Essendo   completo, la successione converge in un punto   la cui distanza da   è minima.

Per mostrare l'unicità di  , siano   e   due punti che minimizzano la distanza. Si ha:

 

Dato che   appartiene a   si ha:

 

e quindi:

 

Pertanto  , che prova l'unicità.

Per mostrare l'equivalenza della condizione su   nel caso in cui   è un sottospazio chiuso, sia   tale che   per tutti gli  . La condizione è sufficiente in quanto:

 

che prova il fatto che   è un "minimizzatore". La condizione è anche necessaria, come si vede ponendo   un "minimizzatore". Sia   e  . Allora:

 

è sempre non negativa. Quindi,  .

BibliografiaModifica

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0070542341.
  • (EN) Luenberger, D. G. Optimization by Vector Space Methods. New York: Wiley, 1997.

Voci correlateModifica

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