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Teorema di Abel

teorema matematico

In matematica, il teorema di Abel o teorema della convergenza radiale di Abel mette in relazione il limite di una serie di potenze (reale o complessa) con la somma dei suoi coefficienti. Prende il nome dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.

Indice

EnunciatoModifica

Sia:

 

una serie di potenze con coefficienti reali o complessi e raggio di convergenza  . Se la serie numerica:

 

converge, allora:

 

purché il limite sia valutato su una successione di numeri reali, o più in generale all'interno di un angolo di Stolz, cioè una regione del disco aperto di centro l'origine e raggio   in cui:

 

per qualche   fissato (il teorema è valido per qualsiasi scelta di  ). Senza questa restrizione il limite può non esistere.

Nel caso speciale in cui tutti i coefficienti   siano reali positivi per ogni   il limite per   è valido anche quando la serie   non converge, ma in questo caso ambo i membri della formula sono  .

DimostrazioneModifica

Possiamo supporre  . Sottraendo una costante da  , si può assumere che:

 

Sia  . Allora sostituendo  , con semplici manipolazioni della serie si ha:

 

Dato  , sia n sufficientemente grande da consentire   per tutti i  . Si nota che:

 

quando   è all'interno dell'angolo di Stoltz. Se   è abbastanza vicino a 1 si ha:

 

in modo che   quando   è nell'angolo di Stoltz ed è anche abbastanza vicino a 1.

ApplicazioniModifica

Se una serie di potenze:

 

centrata in   converge in un punto  , allora essa ha raggio di convergenza   almeno:

 

Il teorema consente di valutare diverse serie in forma chiusa. Ad esempio, quando   si ottiene:

 

integrando la serie di potenze geometrica uniformemente convergente termine a termine sull'intervallo  . In questo modo la serie   converge a   per il teorema di Abel. In modo simile,   converge ad  .

La funzione   è la funzione generatrice della successione  .

BibliografiaModifica

  • (EN) Lars Valerian Ahlfors, Complex Analysis, Third, McGraw Hill Higher Education, 1º settembre 1980, pp. 41–42, ISBN 0-07-085008-9. - Ahlfors called it Abel's limit theorem.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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