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Il teorema di Alfvén afferma che in un fluido conduttore con resistività nulla (o molto piccola), le linee di campo magnetico rimangono congelate in un dato volume del fluido (in inglese, frozen in).

Questo teorema spiega una certa varietà di fenomeni nella magnetosfera e nei plasmi.

La dimostrazione è abbastanza elementare nel contesto della MHD ideale.

Indice

DimostrazioneModifica

 
Evoluzione di un volume elementare di fluido delimitato dalla superficie  , che nel tempo   fluisce con velocità   nella posizione  .

Prendiamo una superficie di flusso   al tempo  , che viene trascinata dalla velocità fluida   nel tempo   nella posizione  . Siano   ed   i due versori normali alle due superfici. L'enunciato del teorema implica che, se le linee di campo magnetico rimangono congelate nel cilindretto di fluido delimitato da  ,   e di altezza  , la variazione nel tempo del flusso magnetico dentro il cilindretto è nulla,  .

Viceversa, se la variazione del flusso dentro il cilindretto è nulla, potendo scegliere il volumetto elementare di fluido in modo arbitrario, questo implica che la topologia magnetica rimanga vincolata al campo di velocità fluida.

La variazione di flusso dentro il cilindretto si può esprimere come:

  .

Facendo lo sviluppo di Taylor del flusso   si ottiene:

  .

Ora possiamo usare l'equazione della divergenza del campo magnetico (equazioni di Maxwell) per esprimere la differenza   (valutata allo stesso istante  ), e dire che il flusso uscente dalle basi del cilindretto deve essere uguale al flusso entrante dalla superficie esterna del cilindretto, di lunghezza  :

  .

In questo modo, la differenza finita   può essere espressa come:

  .

Nel limite   gli integrali sui due contorni 1 e 2 si confondono, e allora:

  .

A questo punto si riconosce facilmente che il termine fra parentesi nell'integrale è identicamente nullo, per l'equazione di evoluzione del flusso della MHD ideale (vedi Equazione (3) nella voce magnetoidrodinamica).

InterpretazioneModifica

Il teorema stabilisce quindi che le linee di campo magnetico non sono indipendenti dall'evoluzione della velocità del fuido: questo è un vincolo molto restrittivo sulla topologia delle linee di campo, e ne limita grandemente le possibili configurazioni[1].

Possiamo capirlo molto semplicemente pensando a un fluido conduttore con un campo magnetico solo in direzione  ,  , e senza campo elettrico. Supponiamo per assurdo che il fluido riesca a sviluppare una velocità nella direzione  , diciamo  , che si oppone quindi al campo magnetico  . Allora, dato che  , e il campo elettrico dentro il fluido è nullo, compare una corrente  .

In corrispondenza a tale corrente, compare anche una forza di Lorentz nella direzione  , pari a  . In sostanza, non appena il fluido sviluppa una velocità che si oppone al campo magnetico, compare una forza che tende a opporsi a questa velocità fluida. Tale forza diverge per  .

Nel fluido si formano quindi continuamente delle correnti che tendono a congelare la topologia del campo magnetico (a parte delle regioni in cui il campo magnetico è nullo,   nell'esempio qui sopra).

Questo evidenzia anche l'importanza della resistività: una resistività anche piccola può portare le linee di campo magnetico a rompersi e riconnettersi in una topologia diversa. Questi fenomeni sono noti come riconnessione magnetica, e sono un fenomeno importantissimo nei plasmi. Dato che la resistività è quasi ovunque molto piccola, tali fenomeni saranno confinati entro regioni spaziali molto piccole, denominate "strati resistivi" (resistive layers), dove si possono formare lamine molto sottili di corrente, chiamate in inglese current sheets.

EsempiModifica

I fluidi conduttori in generale e i plasmi in particolare sono quindi associati a intensi fenomeni magnetici: esempi sono le violente emissioni di vento solare associate ai brillamenti solari (dai quali spesso si propagano le cosiddette onde di Alfvén, delle perturbazioni ad alta velocità che si propagano lungo le linee del campo magnetico solare trasportando energia verso l'esterno) e i fenomeni di disturbo delle telecomunicazioni legati alle aurore polari, note come tempeste geomagnetiche. Lo stesso campo magnetico terrestre è prodotto di un fluido conduttore in movimento (il nucleo terrestre).

NoteModifica

  1. ^ J.P. Freidberg, Ideal Magnetohydrodynamics, Plenum Press, New York, 1987, p.50

Voci correlateModifica

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