Teorema di Ascoli-Arzelà

teorema matematico
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In analisi matematica, il teorema di Ascoli-Arzelà fornisce una condizione sufficiente affinché una successione di funzioni continue limitate ammetta una sottosuccessione convergente, nella norma del massimo. Si tratta della norma che rende , lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo , uno spazio completo, ovvero uno spazio di Banach. Il risultato del teorema non è banale dato che, come si può dimostrare, la compattezza equivale alla chiusura e limitatezza solo in spazi finito dimensionali (si veda il teorema di Heine-Borel).[1]

Il teorema è di fondamentale importanza in analisi funzionale. Prende il nome dai matematici italiani Giulio Ascoli e Cesare Arzelà.

Il teoremaModifica

Una successione di funzioni continue   definite su un intervallo   è detta uniformemente limitata se esiste un numero   tale che:

 

per ogni funzione   della successione e per ogni  . Una tale successione è uniformemente equicontinua se per ogni   esiste   tale che:

 

per ogni funzione   della successione. In modo equivalente, una successione è equicontinua se e solo se tutti i suoi elementi hanno il medesimo modulo di continuità.

Il teorema di Ascoli-Arzelà considera una successione   di funzioni continue a valori reali definite su  . Se la successione è equicontinua e uniformemente limitata allora esiste una sottosuccessione   convergente uniformemente.

GeneralizzazioneModifica

Una versione più generale del teorema considera gli spazi metrici. Come definizione preliminare, un insieme è relativamente compatto se la sua chiusura è compatta. Siano   spazi metrici,   compatto ed   un sottoinsieme di  . Se   è equicontinuo e l'insieme   è relativamente compatto per ogni   in  , allora   è relativamente compatto.

DimostrazioneModifica

Si consideri un ordinamento dei numeri razionali dell'intervallo   ed una successione  . Allora essa è limitata sul primo razionale  , ma poiché   è un compatto (dove   è la costante di uniforme limitatezza), essa ammetterà una sottosuccessione convergente su  , che indichiamo con  . La sottosuccessione   è limitata sul secondo razionale   e ammette dunque una sotto-sottosuccessione convergente su  , indicata con  . Questa a sua volta sarà limitata su  , e così via. Procedendo in questo modo si costruisce una successione di sottosuccessioni   tali che   converge per ogni  , con   minore o uguale a  . A questo punto è possibile costruire una sottosuccessione estraendo la diagonale delle  , cioè prendendo la successione   che converge su ogni razionale contenuto in  .

Si vuole dimostrare che la successione   è di Cauchy su  , poiché la completezza dello spazio consente di concludere ciò. Si fissi dunque   e si ricavi dall'equicontinuità il   corrispondente. Ricoprendo quindi   con   intervallini  , tutti di ampiezza minore di  , ogni   dell'intervallo   appartiene a un  . Quindi si ha:

 

Il primo e il terzo termine al secondo membro sono minori di  , basti scegliere   in   (  tale che  ), in virtù dell'equi-uniforme-continuità delle  . Il termine centrale al secondo membro è invece minore di   per   sufficientemente grandi, poiché   converge su tutti i razionali.   converge puntualmente ad una  , la successione   è equiuniformemente continua in  , quindi   converge uniformemente ad   in  , quindi in particolare   è continua in  .

NoteModifica

  1. ^ Una successione limitata che non ammette sottosuccessioni convergenti nella norma del massimo, per esempio, è la successione   definita da:
     
    Si tratta in sostanza di funzioni a capanna con massimo uguale a uno definite tra   e  . Tali funzioni sono tutte limitate (il massimo vale appunto uno), ma distano le une dalle altre sempre due in quanto dove una funzione è diversa da zero tutte le altre sono nulle.

BibliografiaModifica

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • Cesare Arzelà, Sulle funzioni di linee, in Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat., vol. 5, n. 5, 1895, pp. 55–74.
  • Cesare Arzelà, Un'osservazione intorno alle serie di funzioni, in Rend. Dell'Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna, 1882–1883, pp. 142–159.
  • Giulio Ascoli, Le curve limite di una varietà data di curve, in Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., vol. 18, n. 3, 1883–1884, pp. 521–586.
  • Maurice Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, in Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 22, 1906, pp. 1–74, DOI:10.1007/BF03018603.

Voci correlateModifica

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