Teorema di Bohr-Mollerup

teorema

In analisi matematica, il teorema di Bohr-Mollerup è un teorema che prende il nome dai matematici danesi Harald Bohr e Johannes Mollerup, che lo dimostratono nel 1922. Il teorema caratterizza la funzione Gamma, definita per da

come l'unica funzione sull'intervallo che, simultaneamente, possiede le seguenti tre proprietà:

Un'elegante trattazione su questo teorema può essere trovata nel libro di Artin The Gamma Function, che è stato ristampato dall'AMS (American Mathematicl Society) in una collezione di scritti di Artin.

Il teorema venne prima pubblicato in un manuale di analisi complessa, poiché Bohr e Mollerup ritenevano che fosse già stato dimostrato.

EnunciatoModifica

Teorema di Bohr-Mollerup.   è l'unica funzione che soddisfa   con   convessa ed anche con  .

DimostrazioneModifica

Sia   una funzione con le proprietà stabilite sopra:  ,   è una funzione convessa e  . Da   noi possiamo dire che

 

Lo scopo di aver imposto che   è far sì che la proprietà   ci riconduca ai fattoriali dei numeri interi, in modo da poter concludere che   se   e se   esiste ovunque. Grazie alla relazione scritta per  , se riusciamo a comprendere completamente il comportamento di   per  , possiamo comprendere il comportamento di   per tutti i valori reali di  .

La pendenza del segmento che congiunge due punti   e  , indichiamola con  , è strettamente crescente per una funzione convessa con  . Poiché abbiamo imposto che   è convessa, noi sappiamo che

 

L'ultima riga è un'affermazione forte. In particolare, essa è vera per tutti i valori di  . Questo significa che   non è maggiore rispetto al membro di destra per ogni scelta di   e, allo stesso modo,   non è minore rispetto al membro di sinistra per ogni altra scelta di  . Ogni singola disuguaglianza non è correlata all'altra e può essere interpretata come un'affermazione indipendente. A causa di ciò, noi siamo liberi di scegliere dei valori differenti di   per il membro di destra e per il membro di sinistra. In particolare, se noi lasciamo   per il membro di destra e scegliamo   per quello di sinistra, abbiamo:

 

Da quest'ultima riga è evidente che si sta delimitando una funzione tra due espressioni, una tecnica comune in analisi per dimostrare varie cose come l'esistenza di un limite, o una convergenza. Sia  :

 

così il membro di sinistra dell'ultima disuguaglianza tende a diventare uguale al membro di destra, quando si passa al limite, e

 

rappresenta la delimitazione a entrambi i membri. Ciò può solo significare che

 

Nel contesto di questa dimostrazione, ciò significa che

 

possiede le tre proprietà specificate, che appartengono a  . In più, la dimostrazione fornisce un'espressione specifica per  . La parte finale di questa dimostrazione consiste nel ricordare che il limite di una successione è unico. Ciò significa che, per ogni scelta di  , un solo numero possibile   può esistere. Perciò, non c'è un'altra funzione con tutte le proprietà assegnate a  .

Resta da dimostrare solo che   ha senso per tutti gli   per i quali

 

esiste. Il problema è che la nostra prima doppia disuguaglianza

 

è stata costruita con la restrizione  . Se  , allora il fatto che   è strettamente crescente farebbe sì che  , contraddicendo la disuguaglianza su cui l'intera dimostrazione è costruita. Ma osserviamo che

 

e ciò mostra come prolungare   a tutti i valori di   per i quali il limite è definito.

BibliografiaModifica

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Bohr–Mollerup theorem"[collegamento interrotto], Encyclopedia of Mathematics, Springer Science, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Emil Artin, The Gamma Function, Holt, Rinehart, Winston, 1964.
  • Michael Rosen, Exposition by Emil Artin: A Selection, American Mathematical Society, 2006.
  • Bohr, H. Mollerup, J., Lærebog i Kompleks Analyse vol. III, Copenhagen, 1922. (Textbook in Complex Analysis)

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