Teorema di Brothers-Ziemer

Il teorema di Brothers-Ziemer afferma che la norma Lp del gradiente di una funzione è sempre maggiore o uguale della norma Lp del gradiente del suo riordinamento monotono decrescente. Se inoltre la misura n-1 dei punti a gradiente nullo è zero vale l'uguaglianza a meno di traslazione.

Se si indica con il volume della sfera unitaria di e con il sup-essenziale della funzione , eventualmente anche , si definisce la misura dei sopralivelli per come:

dove è la misura di Hausdorff n-dimensionale. Si indica con il riordinamento definito da:

Il teoremaModifica

Siano   e   di  . Allora vale:

 

Inoltre se   e:

 

e vale l'uguaglianza tra i due integrali, allora la funzione   è uguale quasi ovunque a una traslata di  .

ConseguenzeModifica

 
Funzione non simmetrica e sua riarrangiata con la stessa norma  

Il teorema di Brothers e Ziemer risulta un completamento della disuguaglianza di Pólya-Szegő. Esso afferma che il riordinamento radiale di una funzione ha norma   minore o al più uguale della funzione stessa. In pratica se si vuole minimizzare la norma in   è possibile cercare tale minimo tra le funzioni a simmetria radiale, avendo il riordinamento tale proprietà; potrebbero comunque esistere funzioni che non hanno simmetria radiale ma che minimizzano tale norma.

In figura è presentata una funzione non simmetrica ed il suo riordinamento radiale. È evidente in questo caso che la norma   delle due funzioni è la stessa. L'esempio costruito presenta una funzione in cui l'insieme dei punti a gradiente nullo è positivo. Il teorema di Brothers e Ziemer, con l'ulteriore ipotesi che l'insieme in cui il gradiente è nullo abbia misura nulla, permette di concludere che le funzioni che minimizzano la norma   sono tutte e sole quelle a simmetria radiale. Il teorema di Brothers e Ziemer risulta particolarmente comodo per stabilire il valore delle costanti ottimali nelle disuguaglianze di Sobolev.

BibliografiaModifica

  • (EN) J. Brothers, W.Ziemer, Minimal rearrangements of Sobolev functions, J. Reine Angew Math. 384 (1988), 153-179

Voci correlateModifica

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