Teorema di Carathéodory (teoria della misura)

In teoria della misura, il teorema di Carathéodory permette di ricavare uno spazio di misura quando si ha a disposizione una misura esterna.

Ad esempio, la misura di Lebesgue in si ottiene dalla misura esterna che associa ad un sottoinsieme l'estremo inferiore fra i volumi dei pluri-parallelepipedi[1] che ricoprono . Il teorema di Carathéodory fornisce una σ-algebra di sottoinsiemi di su cui la restrizione di è una misura completa. La dimostrazione che questa è boreliana e che coincide col volume sui parallelepipedi è un caso particolare del teorema di Hahn-Kolmogorov[2].

EnunciatoModifica

Sia   un insieme e   (dove   è l'insieme delle parti di  ) una funzione tale che  . L'insieme

 

è un'algebra e  , la restrizione di   a  , è additiva.

Inoltre, se   è una misura esterna, cioè gode anche della monotonia e della subadditività numerabile, allora   è una σ-algebra e   è una misura.

Si sottolinea che il teorema vale indipendentemente da come viene costruita nella pratica  .

DimostrazioneModifica

La dimostrazione usa tecniche di routine in teoria della misura e si compone di cinque parti. Nelle prime due si dimostra che   è un'algebra e che   è additiva. Nella terza e nella quarta, sotto l'ipotesi aggiuntiva che   sia una misura esterna, si vede che in effetti vale di più, cioè che   è chiusa rispetto alle unioni numerabili e che   è σ-additiva, i.e.   è una σ-algebra e   una misura. Infine si controlla che   sia completa.

  è un'algebraModifica

Per alleggerire la scrittura diremo che   spezza   se vale il criterio di Carathéodory

 

quindi   se e solo spezza tutti i sottoinsiemi di  .

  contiene l'insieme vuotoModifica

L'insieme vuoto spezza tutti i sottoinsiemi perché   per ipotesi e

 

qualsiasi sia  .

  è chiusa rispetto al complementareModifica

La proprietà di spezzare un sottoinsieme è simmetrica rispetto al complementare, cioè se   spezza   allora banalmente anche   spezza  , quindi   è chiusa rispetto al complementare.

  è chiusa rispetto alle unioni finiteModifica

Siano   ed  . Si parte spezzando   con  

 

e poi con B l'insieme relativo al secondo termine

 

ora si noti che   e che   (per la proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione), quindi spezzando con   l'insieme   si ha proprio

 

cioè (per le leggi di De Morgan)

 

In altre parole   spezza tutti i sottoinsiemi di   e quindi sta in  .

La restrizione  , di   a  , è additivaModifica

La verifica è facile. Siano   disgiunti, quindi  , basta spezzare   con   per avere

 
Da qui in poi si assume che   sia una misura esterna.

  è una σ-algebraModifica

Si ricorda che una σ-algebra è un'algebra chiusa rispetto alle unioni numerabili.

Sia   una famiglia numerabile di elementi di   ed   qualsiasi. Per ogni valore di   sia

 

Si ottiene così una famiglia   di insiemi tra loro disgiunti. Siano inoltre

  e  

Si vuole dimostrare che   spezza  . L'idea è sfruttare che   è un'algebra, e quindi contiene  , per spezzare  , e poi portare al limite.

Spezzando   con   si ottiene

 

si noti che   passando ai complementari diventa  , quindi per la monotonia di  

 

Adesso si lavora su   per trovare una formula che permetta di passare agevolmente al limite per  . Spezzando   con   si trova

 

e procedendo per induzione

 

Quindi

 

e passando al limite per   si ha

 

Usando la subadditività numerabile di   si conclude che

 

e quindi che

 

cioè

 

  è una misuraModifica

Si ricorda che una misura su una σ-algebra è un funzione a valori reali positivi σ-additiva che assegna 0 all'insieme vuoto. Anche la verifica della σ-additività di   ristretta a  , come la verifica dell'additività, è facile.

Sia   una famiglia numerabile di elementi di   a due a due disgiunti. Sia

 .

Dall'additività e dalla monotonia di   segue

 

questo vale per tutti gli  , quindi passando al limite per  

 .

La subadditività numerabile di   è esattamente l'altra disuguaglianza che permette di concludere che

 .

  è completaModifica

Si ricorda che completa significa che se  ,   e   allora anche   (e avrà anch'esso misura nulla, ma questo è ovvio perché segue direttamente dalla monotonia).

Dimostriamo prima che se   e   allora  .

Sia  . Si ha

 

Ora se   con   e  , per monotonia anche   e per quanto appena detto  .

Estensione di premisure su algebreModifica

Si ricorda che se  , con   e  , è una funzione tale che  , la misura esterna generata da   col Metodo I è la funzione   definita da

 

si può verificare[3] che questa è una misura esterna.

Si ricorda inoltre che se   è un'algebra,   è detta premisura (o semplicemente misura, basta non confondersi) se per ogni famiglia numerabile  , la cui unione sta a sua volta in   vale la σ-additività:

 

Nel caso in cui   è la misura esterna generata col Metodo I da una premisura   definita su un'algebra  , lo spazio di misura   fornito dal teorema di Carathéodory gode di alcune importanti proprietà:

  • tutti gli elementi di   sono misurabili, cioè  , e quindi anche la σ-algebra generata da   è contenuta in  ;
  • la misura   ristretta ad   è uguale a  ;
  • se   può essere ricoperto con una famiglia numerabile di sottoinsiemi di misura finita che stanno in   allora  , opportunamente ristretta, è l'unica misura sulla σ-algebra generata da   che estende  .

Talvolta in letteratura queste tre affermazioni vanno sotto il nome di teorema di Hahn-Kolmogorov[4] (per la dimostrazione si veda la voce).

NoteModifica

  1. ^ unioni finite di parallelepipedi con i lati paralleli agli assi coordinati
  2. ^ questo non è propriamente vero, nel senso che prima di poter usare il teorema bisogna dimostrare che l'insieme di tutti i pluri-parallelepipedi costituisce un'algebra e che il volume è una premisura su di essa. Resta comunque il fatto che viene risparmiato il grosso del lavoro, i.e. l'estensione alla σ-algebra generata.
  3. ^ Folland, Proposizione 1.10 p. 29
  4. ^ o teorema di Hahn, o teorema di Kolmogorov, o spesso non viene neanche assegnato un nome, dipende dalle simpatie dell'autore. Ad esempio in Lang, Teorema 7.1 p. 153 viene chiamato teorema di Hahn.

BibliografiaModifica

  • (EN) Vladimir Bogachev, Measure theory, volume 1, Springer, 2006, ISBN 3-540-34513-2.
  • (EN) Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Wiley-Interscience, 1999, ISBN 0-471-31716-0.
  • (EN) Serge Lang, Real and Functional Analysis, Springer, 1993, ISBN 0-387-94001-4.
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