Teorema di Cauchy (analisi matematica)

Teorema dell'analisi matematica

Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange.

Significato geometrico del teorema di Cauchy.

EnunciatoModifica

Siano   due funzioni reali di variabile reale continue in   e derivabili in  .

Allora esiste un punto   tale che

 [1]

Si noti che se   (e dunque in particolare  ), l'equazione si può scrivere nella forma equivalente

 

Dimostrazione del teoremaModifica

Si consideri la funzione   di variabile reale definita nell'intervallo   come

 

Questa funzione è continua nell'intervallo   e derivabile in  , e

 
 

Da cui  .

La funzione   soddisfa quindi le ipotesi del teorema di Rolle, per cui esiste un punto   in cui  , cioè

 

ApplicazioniModifica

  • Considerando in particolare la funzione  , si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.
  • Il teorema di Cauchy può essere utilizzato per dimostrare la regola di De L'Hôpital.

NoteModifica

  1. ^ P. M. Soardi, p. 222.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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