Teorema di Cauchy (analisi matematica)
Teorema dell'analisi matematica
Il teorema degli incrementi finiti di Cauchy è una generalizzazione del teorema di Lagrange.
Enunciato modifica
Siano due funzioni reali di variabile reale continue in e derivabili in .
Allora esiste almeno un punto tale che
Si noti che se (e dunque in particolare ), l'equazione si può scrivere nella forma equivalente
Dimostrazione del teorema modifica
Si consideri la funzione di variabile reale definita nell'intervallo come
Questa funzione è continua nell'intervallo e derivabile in , e
Da cui .
La funzione soddisfa quindi le ipotesi del teorema di Rolle, per cui esiste un punto in cui , cioè
Applicazioni modifica
- Considerando in particolare la funzione , si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.
- Il teorema di Cauchy può essere utilizzato per dimostrare la regola di De L'Hôpital.
Note modifica
- ^ P. M. Soardi, p. 222.
Bibliografia modifica
- Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, paragrafo 67.
- Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.
Voci correlate modifica
Collegamenti esterni modifica
- (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Cauchy, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Extended mean-value theorem e proof of extended mean-value theorem su PlanetMath