Teorema di Cauchy (meccanica del continuo)

Nella meccanica del continuo, il teorema di Cauchy, noto anche come teorema di Cauchy-Poisson, afferma che, in un dominio fluido sottoposto a forze di massa e di contatto, la risultante degli sforzi agente sulla superficie di qualsiasi punto secondo una generica giacitura è univocamente definita una volta riferiti gli sforzi ad una giacitura cartesiana. Nella definizione delle forze di contatto, infatti, ci si riferisce ad una generica giacitura della superficie, per cui la cui risultante degli sforzi potrebbe avere infiniti gradi di libertà, rendendo il problema indeterminato. In altri termini, il teorema di Cauchy-Poisson afferma che le equazioni cardinali della statica ammettono, oltre alla forma generale, una locale.

DimostrazioneModifica

 
Il tetraedro di Cauchy soggetto a sforzi

Preso un sistema di riferimento cartesiano  centrato in   e con orientamento arbitrario, sul quale la tensione è data dalle distribuzioni degli sforzi:

 

a partire da una combinazione lineare di queste è possibile ricavare una qualunque  , cioè conoscendo tre distribuzioni degli sforzi, relative a tre tagli mutualmente ortogonali, consente di conoscere tutto lo stato tensionale.

L'intorno tetraedrico di  , individuato dai punti   e di volume  , è detto tetraedro di Cauchy. La faccia   possiede una giacitura costante  , le cui componenti sono i coseni direttori dello sforzo. Sulla faccia   agirà la distribuzione di sforzi  , su   agirà  , su   agirà   ed infine su   agirà  . Si consideri quindi questo dominio fluido   soggetto ad azioni di contatto su tutte e quattro le facce. Chiamando   l'areola infinitesima dove agisce la tensione, le   sono le proiezioni sui piani coordinati di  :

 

Le   si possono considerare applicate nei baricentri delle facce del tetraedro di Cauchy, dato che gli errori sono infinitesimi; inoltre, nel baricentro del tetraedro agisce anche la forza di gravità  . Pertanto l'equilibrio alla traslazione è:

 

da cui si ricava che

 

il che equivale ad affermare la linearità di   rispetto a  . La precedente relazione può essere riscritta in forma tensoriale come:

 

dove   è il tensore delle tensioni in  , noto il quale è possibile conoscere completamente lo stato tensionale.

Voci correlateModifica

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