Il teorema di Ceva è un noto teorema in geometria elementare. Deve il suo nome a Giovanni Ceva, che ne diede dimostrazione nella sua opera De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio del 1678, anche se il primo a dimostrarlo fu Yusuf al-Mu'tamin ibn Hud, attorno all'XI secolo. Si definisce ceviana una retta che congiunge un vertice con un punto del lato opposto di un triangolo. Il teorema fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tre ceviane si incontrino in uno stesso punto.

EnunciatoModifica

Siano A, B, C i vertici di un triangolo; li si congiungano con un punto O del piano e si indichino con D, E, F le intersezioni con i lati del triangolo.
Si ha la seguente relazione:

 

DimostrazioneModifica

Si considerino i triangoli   e  . Si può notare che hanno in comune un'altezza relativa ai due segmenti   e  , basi rispettivamente del primo e del secondo triangolo. Da questo, tenendo conto della formula  , per l'area di un triangolo, si deduce che il rapporto tra le aree dei due triangoli è uguale al rapporto tra le rispettive basi:

 .

Similmente si può dimostrare che vale anche:

 

e di conseguenza, per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si giunge a:

 

Facendo riferimento alla figura, e tenendo conto della proprietà delle proporzioni:

 

possiamo infine scrivere che:

 

Ragionando in modo analogo per i lati   e   scriveremo anche le proporzioni:

 .

Possiamo utilizzare quanto dimostrato fin ora per riscrivere la formula iniziale:

 

Come volevasi dimostrare, tale espressione è uguale a   in quanto ogni termine compare una volta a numeratore ed una a denominatore.

Forma trigonometricaModifica

La formula del teorema può essere scritta in una forma trigonometrica equivalente:

 

Una possibile dimostrazione di ciò avviene attraverso il teorema dei seni.

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