Teorema di Gauss-Lucas

Teorema sulle radici di un polinomio e della sua derivata

In analisi complessa, una branca della matematica, il teorema di Gauss–Lucas fornisce un relazione geometrica tra le radici di un polinomio e le radici della sua derivata . L'insieme delle radici di un polinomio reale o complesso è un insieme di punti nel piano complesso. Il teorema afferma che le radici di giacciono tutte all'interno dell'inviluppo convesso delle radici di , cioè il più piccolo poligono convesso che contiene le radici di . Quando ha una radice singola allora il suo inviluppo convesso è un solo punto, mentre quando gli zeri giacciono su una retta allora l'inviluppo è un segmento appartenente a tale retta. Il teorema di Gauss–Lucas, che deve il suo nome a Carl Friedrich Gauss e Félix Lucas, è molto simile per certi versi al teorema di Rolle.

EnunciatoModifica

Sia   è un polinomio (non costante) a coefficienti complessi, allora tutte le radici di   appartengono all'inviluppo convesso dell'insieme degli zeri di  .[1]

Casi specialiModifica

È facile vedere che se   è un polinomio di secondo grado, lo zero di   è la media delle radici di  . In questo caso, l'inviluppo convesso è il segmento di estremi le due radici ed è evidente che la media degli zeri si trovi nel punto medio di tale segmento. Per un polinomio complesso   di terzo grado (funzione cubica) con tre zeri distinti, il teorema di Marden afferma che gli zeri di   sono i fuochi dell'inellisse di Steiner, che è l'unico ellisse tangente ai lati del triangolo formato dagli zeri di   nei loro punti medi.

Per un polinomio complesso   di quarto grado con 4 zeri distinti che formano un quadrilatero concavo, uno degli zeri di   giace nell'inviluppo convesso degli altri tre; tutte e tre le radici di   giacciono in due dei tre triangoli formati dallo zero interno di   e dagli altri due.[2]

Inoltre, se un polinomio di grado   a coefficienti reali ha   radici distinte  , si mostra, usando il teorema di Rolle, che gli zeri del polinomio derivato si trovano nell'intervallo  , che è l'inviluppo convesso dell'insieme delle radici.

L'inviluppo convesso delle radici del polinomio   in particolare include il punto  .

DimostrazioneModifica

Sui numeri complessi,   è fattorizzabile in fattori primi

 

dove i numeri complessi   sono le – non necessariamente distinte – radici del polinomio  , il numero complesso   è il coefficiente direttore di   e   è il grado del polinomio. Sia   un qualunque numero complesso per cui  . Allora si ha per la derivata logaritmica

 

In particolare, se   è uno zero di   e  , allora

 ,

equivalente a

 

Si può scrivere come

 

Prendendo i coniugati, si nota che   è una somma pesata con coefficienti positivi che hanno somma uguale a 1, o il baricentro in coordinate affini, dei numeri complessi   (con differente contributo assegnato a ciascuna radice e tale che la somma dei pesi sia 1).

Se  , allora   per qualche  , ed è ancora una combinazione convessa delle radici di  .

NoteModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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