Teorema di Green

Disambiguazione – Se stai cercando i teoremi sulla relazione tra integrali di volume e di superficie per mezzo dell'operatore di Laplace, vedi Identità di Green.

In matematica il teorema di Green, il cui nome è dovuto a George Green, pone in relazione un integrale di linea attorno a una curva chiusa semplice e un integrale doppio su di una regione piana limitata dalla medesima curva. Si tratta di un caso speciale, ristretto a due dimensioni, del teorema del rotore, a sua volta caso particolare del teorema di Stokes.

EnunciatoModifica

Sia   una curva chiusa semplice nel piano positivamente orientata (Diremo che la curva   orientata positivamente è un'orientazione positiva per la frontiera se per ogni   appartenente alla frontiera, l'angolo tra il vettore tangente e il vettore normale alla curva misurato in senso orario è di  ) regolare a tratti, e sia   la superficie di cui è frontiera. Se   e   sono due funzioni reali di due variabili reali che hanno le derivate parziali continue su una regione aperta che contiene  , allora:[1]

 

Poiché il punto iniziale ed il punto finale della curva coincidono, essendo essa chiusa, talvolta si preferisce utilizzare la notazione:

 

InterpretazioneModifica

Se si considera un campo vettoriale   su   definito da:

 

la quantità:

 

rappresenta l'integrale di  , dove   è la tangente esterna alla curva   in ogni punto. Dunque tale integrale rappresenta la circuitazione del campo   lungo la curva  .

D'altra parte l'espressione:

 

è il modulo del rotore di  . Infatti, nel caso di un campo planare e di un insieme   del piano, il rotore è un vettore parallelo alla normale alla superficie  , e dunque:

 

Quindi l'uguaglianza stabilita dal teorema stabilisce che la circuitazione di un campo vettoriale attraverso una curva è uguale al flusso del rotore del campo attraverso la superficie delimitata da tale curva. Questo è ciò che afferma il teorema del rotore, che è una generalizzazione del teorema di Green al caso di  .

Dimostrazione per superficie sempliceModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Dominio semplice.

Il teorema di Green si dimostra se si provano le due equazioni seguenti:

 

Se si esprime   come la regione:

 

dove   e   sono funzioni continue, si può calcolare l'integrale doppio della prima relazione:

 

Avendo utilizzato il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Spezzando il bordo   di   nell'unione delle quattro curve  ,  ,   e  , si verifica che:

  • Per   valgono le equazioni parametriche  ,  ,  , e quindi si ottiene:
  .
  • Per   si usano le equazioni parametriche  ,  ,  , e si ottiene:
 
  • Per   e   la variabile   è costante poiché ci si muove su un trattino rettilineo perpendicolare all'asse delle ascisse, il che implica:
 

e quindi:

 

Sommando questa con l'integrale doppio della prima relazione definito in precedenza si ottiene:

 

e la seconda relazione si dimostra in modo analogo.

Relazione con il teorema di StokesModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Stokes.

Il teorema di Green è un caso speciale del teorema di Stokes che si verifica considerando una regione nel piano x-y. Si ponga di avere un campo vettoriale   in tre dimensioni la cui componente z sia sempre nulla, ovvero  . Per il membro alla sinistra del teorema di Green si ha:

 

e per il teorema del rotore (o di Kelvin–Stokes):

 

dove la superficie   è la regione nel piano e   è il versore normale in direzione z. L'integrando diventa:

 

sicché si ottiene il membro di destra del teorema di Green:

 

Relazione con il teorema della divergenzaModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della divergenza.

Considerando campi vettoriali in due dimensioni il teorema di Green è equivalente alla seguente versione bidimensionale del teorema della divergenza:

 

dove   è il versore normale uscente alla frontiera   di  . Infatti, dal momento che nel teorema di Green   è un vettore tangente alla curva, e dato che la curva   è orientata in senso antiorario, il vettore normale   è il vettore  . La sua lunghezza è  , e quindi  . Detto  , il membro alla destra diventa:

 

che con il teorema di Green assume la forma:

 

L'implicazione inversa si mostra in modo analogo.

NoteModifica

  1. ^ Rudin, Pag. 288.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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