Teorema di Hölder

Teorema sulla funzione Gamma

Nell'analisi matematica, il teorema di Hölder afferma che la funzione Gamma non soddisfa nessuna equazione differenziale algebrica i cui coefficienti sono funzioni razionali. Questo risultato fu per la prima volta dimostrato da Otto Hölder nel 1887; successivamente vennero trovate molte altre dimostrazioni alternative.[1]

Il teorema si generalizza anche alle funzioni q-gamma.

EnunciatoModifica

Per ogni  , non esiste un polinomio non nullo   tale che

 

dove   è la funzione Gamma.  

Per esempio, si definisca   come  . Allora l'equazione

 

è chiamata una equazione differenziale algebrica, che, in questo caso, ha soluzioni   e   — le funzioni di Bessel del primo e secondo tipo, rispettivamente. Quindi, si dice che   and   sono differenzialmente algebriche (anche algebricamente trascendenti). La maggior parte delle funzioni speciali della fisica matematica sono differenzialmente algebriche. Tutte le combinazioni di funzioni algebricamente trascendenti sono algebricamente trascendenti. Il teorema di Hölder semplicemente afferma che la funzione gamma,  , non è differenzialmente algebrica ed è perciò ipertrascendente.[2]

DimostrazioneModifica

Sia  , e si assuma che un polinomio non nullo   esista tale che

 

Poiché un polinomio non nullo   non può dare origine al polinomio nullo su qualunque dominio aperto non vuoto di   (per il teorema fondamentale dell'algebra), si può supporre senza perdita di generalità che   contenga un monomio avente un potenza diversa da zero di una delle incognite  .

Si assuma inoltre che   abbia il più piccolo grado totale con rispetto dell'ordine lessicografico  . Per esempio,

 

perché la più grande potenza di   in ogni monomio del primo polinomio è più piccolo di quella del secondo polinomio.

Successivamente, si osserva che

 

Se si definisce un secondo polinomio   attraverso la trasformazione

 

allora si ottiene la seguente equazione differenziale algebrica per  :

 

Per di più, se   è il monomio con il più alto grado in  , allora il monomio più alto in   è  . Di conseguenza, il polinomio

 

ha un grado totale minore di  , e siccome dà origine ad un'equazione algebrica per  , deve essere il polinomio nullo per ipotesi della minimalità di  . Quindi, definendo   come  , si ottiene

 

Ora, sostituendo   in   si ha

 

Un cambio di variabili in tal caso produce  , e un'applicazione dell'induzione matematica (insieme a cambi di variabile ad ogni passo induttivo) alla precedente espressione

 

rivela che

 

Questo è possibile se e solo se   è divisibile per  , che contraddice la minimalità di  . Pertanto, non esiste un tale  , e quindi   non è differenzialmente algebrica.[2][3] Q.E.D.

NoteModifica

  1. ^ Bank, Steven B. & Kaufman, Robert. “A Note on Hölder’s Theorem Concerning the Gamma Function”, Mathematische Annalen, vol 232, 1978.
  2. ^ a b Rubel, Lee A. “A Survey of Transcendentally Transcendental Functions”, The American Mathematical Monthly 96: pp. 777-788 (November 1989).
  3. ^ Boros, George & Moll, Victor. Irresistible Integrals, Cambridge University Press, 2004, Cambridge Books Online, 30 December 2011. DOI10.1017/CBO9780511617041.003

Voci correlateModifica

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