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Teorema di Hahn-Banach

In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Hahn-Banach è un teorema che permette di estendere operatori lineari limitati definiti su un sottospazio di qualche spazio vettoriale a tutto lo spazio, e mostra inoltre che ci sono sufficienti funzionali lineari continui definiti su ogni spazio normato tali da rendere lo studio dello spazio duale interessante. È così chiamato grazie a Hans Hahn e Stefan Banach, che provarono questo teorema indipendentemente l'uno dall'altro negli anni venti.

Il teoremaModifica

Sia   uno spazio vettoriale sul campo   (che può essere quello reale   o quello complesso  ). Una funzione   si dice sublineare se:

 
 

Ogni seminorma su  , ed in particolare ogni norma su  , è sublineare.

Si dice inoltre che una funzione   è l'estensione di una funzione   se il dominio di   contiene quello di   e le funzioni coincidono in ogni punto del dominio di  .

EnunciatoModifica

Il teorema di Hahn–Banach afferma che se   è una funzione sublineare e   è un funzionale lineare su un sottospazio vettoriale   e   è dominato da   su  , ovvero:

 

allora esiste un'estensione lineare   di   definita sull'intero spazio. In altri termini, esiste un funzionale lineare   tale che:[1]

 

L'estensione   non è in generale unicamente determinata da  , e la dimostrazione non fornisce un metodo per trovare   nel caso di uno spazio a dimensione infinita  , ma si appoggia al lemma di Zorn.

La condizione di sublinearità su   può essere leggermente indebolita assumendo che:[2]

 

per tutti gli   e   in   tali che  .

DimostrazioneModifica

Sia   uno spazio vettoriale su   e sia   una funzione tale che:

 

Sia   un sottospazio di   e sia   una funzione lineare tale che:

 

Allora esiste una funzione lineare   tale che:

 
 

Per dimostrare questo fatto, sia   e si consideri il sottospazio di   definito nel modo seguente:

 

Si estende   su tutto   ponendo:

 

dove   è un numero reale che viene determinato nel seguito. La funzione   è una estensione lineare di  .

Siano ora   e  . Si ha:

 
 
 
 

Pertanto risulta:

 

e quindi:

 

Quindi esiste   tale che:

 

Da tale disuguaglianza si evince che:

 

Si pone quindi:

 

Per ogni   e per ogni   risulta:

 

cioè:

 

Sia ora   l'insieme delle estensioni lineari   di   tali che   per ogni   appartenente al dominio di definizione di  . Per il punto precedente   è un insieme non banale.

Si definisce in   una relazione d'ordine dicendo che   se il dominio di definizione di   è contenuto nel dominio di definizione di   e   ed   coincidono sul dominio di definizione di  .

Si consideri un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di  , denotato con  , dove   è un arbitrario insieme di indici, e sia   il dominio di definizione di  . Si pone   e, dato  , si definisce  , dove   è un qualsiasi indice di   tale che  . La definizione di   è ben posta, ed   è una estensione lineare di ogni  . Inoltre risulta  .

Si deduce che   è un limite superiore per  . Essendo   un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di   il lemma di Zorn implica che esiste un elemento massimale di   denotato con  . Sia   il dominio di definizione di  . Se si mostra che  , il teorema è provato.

L'insieme   è un sottospazio di  . Si supponga, per assurdo, che esista  . Applicando il primo punto al sottospazio:

 

si può costruire una estensione non banale di   che, per le proprietà dimostrate nel primo punto, contraddice la massimalità di   su  . Di qui l'assurdo che conclude la dimostrazione.

ConseguenzeModifica

Esistono alcune importanti conseguenze del teorema che talvolta vengono anch'esse chiamate "teorema di Hahn–Banach":

  • Se   è uno spazio normato con sottospazio   (non necessariamente chiuso) e se   è lineare e continua, allora esiste un'estensione   di   che è anch'essa lineare e continua e che ha la stessa norma di  .
  • Se   è uno spazio normato con sottospazio U (non necessariamente chiuso) e se   è un elemento di   non contenuto nella chiusura di  , allora esiste un'applicazione lineare e continua   con   per ogni  ,  , e  .

Il Mizar project ha completamente formalizzato e controllato automaticamente la dimostrazione del teorema di Hahn–Banach nel file HAHNBAN.

Forme geometricheModifica

Il teorema di Hahn-Banach ha due importanti corollari, noti anche come prima e seconda forma geometrica, la cui formulazione richiede alcune nozioni preliminari. Sia   uno spazio vettoriale normato su   e sia   un funzionale lineare continuo non nullo. Dato  , l'insieme:

 

si dice iperpiano in   di equazione  . Dati due sottoinsiemi   di   non vuoti e disgiunti, si dice che l'iperpiano   separa   e   se risulta:

 

e:

 

Si dice che l'iperpiano   separa   e   in senso stretto se esiste un numero   tale che:

 

e:

 

Valgono quindi i seguenti corollari del teorema di Hahn-Banach.

Prima forma geometrica del teorema di Hahn-BanachModifica

Siano   uno spazio vettoriale normato su  ,   due sottoinsiemi non vuoti, convessi e disgiunti di   e si supponga che almeno uno di essi sia aperto. Allora esiste un iperpiano di equazione   che separa   e  .

Seconda forma geometrica del teorema di Hahn-BanachModifica

Siano   uno spazio vettoriale normato su  ,   due sottoinsiemi chiusi non vuoti, convessi e disgiunti di   e si supponga che almeno uno di essi sia compatto. Allora esiste un iperpiano di equazione   che separa   e   in senso stretto.

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 105.
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 75.

BibliografiaModifica

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) Lawrence Narici, Edward Beckenstein, The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times, Topology and its Applications, Volume 77, 2ª edizione (3 giugno 1997) Pagine 193-211. È disponibile un preprint in linea qui

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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