Teorema di Hahn-Kolmogorov

In teoria della misura, il teorema di Hahn-Kolmogorov stabilisce che data un'algebra di sottoinsiemi di un insieme X, ed una funzione a valori reali non negativi, nulla sul vuoto, e numerabilmente additiva (nel senso che se l'unione di una famiglia numerabile appartiene ancora all'algebra allora per questa famiglia vale la σ-additività), esiste un'unica misura che la estende alla σ-algebra generata dall'algebra di partenza.

Il primo a dimostrare il teorema fu Fréchet[1], ma la sua dimostrazione non usava il teorema di Carathéodory. La dimostrazione più moderna, qui riportata, è stata scoperta indipendentemente da Hahn[2] e Kolmogorov[3]. Per questo motivo il teorema si può trovare in letteratura sotto il nome di Hahn (da non confondere col teorema di decomposizione di Hahn) o Hahn-Kolmogorov. Spesso, comunque, non viene neanche assegnato un nome, o lo si chiama semplicemente teorema di estensione.

Enunciato modifica

Sia   un'algebra di sottoinsiemi di   e   una funzione σ-additiva, nel senso che se   è una famiglia numerabile di elementi disgiunti di   e l'unione di tutti gli   sta in   allora:

 

e tale che   (si dice che   è una premisura, o semplicemente misura se non c'è pericolo di confusione).

Indicata con   la σ-algebra generata da  , esiste una misura   su   che estende  , cioè tale che ristretta ad   è uguale a  .

Se   è sigma-finita, cioè esiste una famiglia numerabile   che ricopre  , con   per ogni  , allora l'estensione è unica.

Dimostrazione modifica

La dimostrazione si divide in due parti. Nella prima si dimostra l'esistenza costruendo una misura esterna in modo da poter usare il teorema di Carathéodory, e poi si verifica che la misura esterna ristretta ad   è uguale a   e che gli elementi di   sono misurabili. La seconda parte si occupa invece dell'unicità nel caso in cui   è σ-finita nel senso indicato nell'enunciato.

Esistenza modifica

Misura esterna e teorema di Carathéodory modifica

La funzione   costruita a partire da   è definita come:

 

e gode delle tre proprietà di una misura esterna (monotonia, subadditività numerabile, assegna 0 al vuoto). Il teorema di Carathéodory fornisce allora uno spazio di misura completo  , dove:

 

è una σ-algebra e   è la restrizione di   a  .

μ* ristretta ad A è uguale a μ0 modifica

Si vuole dimostrare che per ogni   in   vale:

 

dove l'inf è preso su tutte le famiglie numerabili   che ricoprono  . In particolare, prendendo la famiglia   si ha subito:

 

Sia   una famiglia che ricopre  . L'idea per ottenere l'altra disuguaglianza è che se si prende la famiglia disgiunta associata   si può spezzare   sfruttando la σ-additività (sempre nel senso indicato nell'enunciato) di  , da lì in poi si tratta di sfruttare semplici maggiorazioni. Si ricorda che ad ogni famiglia   è associata una famiglia   di insiemi a coppie disgiunti tale che l'unione dei primi n   è uguale a quella dei primi n  , questo per tutti gli n naturali. Tale famiglia si ottiene ponendo  . Per quanto detto l'unione di tutti i   contiene  , quindi:

 

dove le diseguaglianze seguono dalla monotonia di  . Ora, questo vale per qualsiasi   che ricopre  , quindi:

 

M contiene A modifica

Dimostrare che   sta in   significa dimostrare che:

 

qualsiasi sia  . Per farlo si approssima   usando una famiglia   che copre  , poi con   si spezza l'approssimazione invece che  , così da poter usare l'additività di  . Nel dettaglio, per ogni   esiste una famiglia   che copre   e tale che:

 

dove l'uguaglianza si ottiene scrivendo   come   e usando l'additività di  , mentre la seconda disuguaglianza si ottiene notando che   è un ricoprimento di  , e analogamente per  . Si nota che essendo   arbitrario:

 

L'altra disuguaglianza è regalata dalla subadditività di  :

 

Conclusione modifica

Ricapitolando, partendo da   si è costruita una misura esterna   che ristretta alla σ-algebra   è una misura  . Si è dimostrato che l'algebra   è contenuta in   e che   sugli elementi di   si comporta come la premisura   da cui si era partiti. Per concludere la prima parte del teorema si nota che essendo   la più piccola σ-algebra contenente  , ed  , si ha  . Se con abuso di notazione si continua a denotare con   la misura su   ristretta ad  , lo spazio di misura   è, per quanto detto, quello cercato.

In generale, mentre   è completo (fa parte della tesi del teorema di Carathéodory), lo spazio   può benissimo non esserlo (un esempio noto si ha quando   è la σ-algebra dei boreliani di   e   è la misura di Lebesgue).

Unicità modifica

In questa parte si suppone che   sia σ-finita nel senso indicato nell'enunciato. Sia   una misura su   che estende  , mentre si continua ad indicare con   la misura, sempre su  , costruita sopra. Per dimostrare che sono uguali si comincia usando la σ-finitezza per restringersi a lavorare in uno spazio di misura finita. Sia   una famiglia di insiemi di misura finita la cui unione è  . Si può supporre che gli   siano a coppie disgiunti (al limite basta prendere la famiglia   con   al posto di   ). Le due misure danno lo stesso valore ad un insieme misurabile   se e solo se concordano su tutte le intersezioni  , perché in questo caso sarebbe:

 

Ci si è ridotti a dover dimostrare che se   ha misura finita e   è contenuto in  , allora  . Per confrontare le due misure, si consideri una famiglia   che ricopre  . Si ha:

 

da cui:

 

e quindi   perché la disuguaglianza vale per tutte le famiglie   che coprono   e   è l'inf dei termini di destra. Ma vale anche  . Ricordando che   sta in   e spezzandolo come   si conclude:

 

cioè:

 

da cui:

 

Note modifica

  1. ^ M. Fréchet, Sur l'intégrale d'une fonctionnelle étendue à un ensemble abstrait, Bull. Soc. Math. France, 43 (1915), 248-265
  2. ^ H. Hahn, Über die multiplikation total-additiver mengefunktionen, Annali Scuola Norm. Sup. Pisa, 2 (1933), 429-452
  3. ^ A. N. Kolmogorov, Grundbegriffe der wahrscheinlichkeitsrechnung, Springer-Verlag, Berlin (1933)

Bibliografia modifica

Voci correlate modifica

Collegamenti esterni modifica

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