Dimostriamo che l'assioma della scelta implica che tutte le cardinalità sono comparabili. Siano e due insiemi e sia un insieme parzialmente ordinato tale che:
gli elementi di sono terne ove e è un'iniezione da a
la relazione d’ordine è la seguente: se e solo se e ristretta a è uguale a .
Tale insieme non è vuoto in quanto l'insieme vuoto ed esiste un'iniezione tra e dunque
Sia una catena di tale che Siano
e sia la funzione da a tale che se allora Tale funzione è ben definita e iniettiva, e quindi
La terna è un maggiorante di , infatti e per ogni indice e ristretto a è uguale a per definizione di . Allora sono verificate le ipotesi del lemma di Zorn (che è equivalente all'assioma della scelta) ed esiste dunque un elemento massimale
Dimostriamo allora che oppure Supponiamo per assurdo che ciò sia falso, ossia che e Si ha quindi che esistono e Consideriamo allora , ove se altrimenti . La funzione è iniettiva e dunque Inoltre , e ristretta a è uguale a per costruzione. Di conseguenza
ma questo è assurdo poiché è massimale. Ne consegue che oppure è quindi vi è un'iniezione da in un sottoinsieme di o da in un sottoinsieme di e quindi oppure
