Teorema di Helmholtz

In matematica e fisica, il teorema di Helmholtz, anche detto teorema fondamentale del calcolo vettoriale o decomposizione di Helmholtz, il cui nome è dovuto a Hermann von Helmholtz, afferma che un campo vettoriale sufficientemente regolare è completamente determinato quando sono noti la sua divergenza e il suo rotore in ogni punto del suo dominio. In tal caso esso può essere espresso come somma di un campo vettoriale conservativo e di un campo vettoriale solenoidale.

La decomposizione di Hodge può essere vista come una generalizzazione di questo risultato, laddove, invece che campi vettoriali in , si considerino forme differenziali su una varietà riemanniana. Diverse formulazioni, tuttavia, richiedono che la varietà sia un insieme compatto.[1] Poiché non è compatto, la decomposizione di Hodge generalizza quella di Helmholtz se, invece della compattezza, si impongono determinate condizioni alla decrescita all'infinito delle forme differenziali presenti.

Il teoremaModifica

Sia   un campo vettoriale differenziabile con continuità fino al secondo ordine e definito su un dominio  . Allora   può essere scritto come la somma di un campo vettoriale irrotazionale   e di un campo vettoriale solenoidale  :[2]

 

dove   è il gradiente,   il rotore e:

 
 

sono detti potenziali. In particolare,   è il potenziale scalare,   il potenziale vettore.

Nel caso in cui   coincida con   e   si annulla all'infinito rapidamente, l'integrale di superficie si annulla:[3]

 

Scrivendo esplicitamente i potenziali si ha la decomposizione di Helmholtz:

 

dove l'operatore nabla agisce rispetto alle coordinate   all'interno degli integrali e rispetto alle coordinate   all'esterno. Inoltre, l'integrazione avviene sulle coordinate  .

Si può quindi affermare che se si ha un campo vettoriale   definito e regolare in tutto lo spazio di cui si conoscono   e  , e vale la condizione:

 

allora   è completamente determinato dalla sua divergenza e dal suo rotore:

 

Formulazione deboleModifica

La decomposizione di Helmholtz può essere generalizzata riducendo le assunzioni di regolarità del campo: si supponga che   sia un dominio lipschitziano semplicemente connesso e limitato. Ogni campo vettoriale a quadrato sommabile   possiede una decomposizione ortogonale:

 

dove   appartiene allo spazio di Sobolev   delle funzioni a quadrato sommabile su   le cui derivate parziali (nel senso delle distribuzioni) sono a quadrato sommabile, mentre   appartiene allo spazio di Sobolev   dei campi vettoriali a quadrato sommabile con rotore a quadrato sommabile. Per campi   leggermente più lisci vale una decomposizione del tipo:

 

dove   e  .

NoteModifica

  1. ^ Jason Cantarella, Dennis DeTurck e Herman Gluck, Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-Space, in The American Mathematical Monthly, vol. 109, n. 5, 2002, pp. 409–442, JSTOR 2695643.
  2. ^ Helmholtz' Theorem (PDF), University of Vermont (archiviato dall'url originale il 13 agosto 2012).
  3. ^ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall, 1989, p. 56.

BibliografiaModifica

Titoli generaliModifica

  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92–93
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists International Edition, 6th edition, Academic Press: San Diego (2005) pp. 95–101

Formulazione debole del teoremaModifica

  • C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, and V. Girault. "Vector potentials in three dimensional non-smooth domains." Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21, 823–864, 1998.
  • R. Dautray and J.-L. Lions. Spectral Theory and Applications, volume 3 of Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Springer-Verlag, 1990.
  • V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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