Teorema di Kakutani

In matematica, il teorema di Kakutani, il cui nome si deve a Shizuo Kakutani, è un teorema di punto fisso che estende il teorema di Brouwer alle funzioni a più valori. Il teorema venne provato da Shizuo Kakutani nel 1941 e venne adoperato da John Nash nella sua prova di esistenza di un equilibrio di Nash; in seguito ha trovato una vasta applicazione nella teoria dei giochi e in economia.

Introduzione

Un'applicazione a più valori $f$ da un insieme $X$ a un insieme $Y$ è una legge che associa uno o più elementi di $Y$ ad ogni punto di $X$. Formalmente si può rappresentare come una funzione da $X$ all'insieme delle parti di $Y$, e scritta come $f:X\to 2^{Y}$.

Dati due spazi metrici $X$ ed $Y$, un'applicazione a più valori $f:X\to 2^{Y}$ si dice "chiusa" se per ogni successione $(x_{n},y_{n})$ con $x_{n}\to x_{0}$, $y_{n}\to y_{0}$ e $y_{n}\in f(x_{n})$, si ha $y_{0}\in f(x_{0})$.

Analogamente al caso delle funzioni tradizionali, per $f:X\to 2^{X}$ una funzione a più valori il punto $a\in X$ è un punto fisso di $f$ se $a\in f(a)$.

Enunciato

Sia dato uno spazio euclideo $X$ di dimensione finita, e sia $K$ un sottoinsieme di $X$ compatto, convesso e non vuoto. Sia $f\colon K\to 2^{K}$ un'applicazione multivoca con le seguenti proprietà:

• $f$ è chiusa;
• per ogni $x\in K$, $\ f(x)$ è un sottoinsieme convesso non vuoto di $K$.

Allora $f$ ammette almeno un punto fisso in $K$.

Esempi

Sia $f(x)$ una funzione multivoca definita sull'intervallo chiuso $[0,1]$ che fa corrispondere al punto $x$ l'intervallo chiuso $[1-x/2,1-x/4]$. Allora $f(X)$ soddisfa tutte le ipotesi del teorema e deve avere almeno un punto fisso.

La funzione multivoca $f\colon [0,1]\to 2^{[0,1]}$ che ad ogni $x\in [0,1/2]$ fa corrispondere il singleton $\{1\}$ e ad ogni $x$ in $[1/2,1]$ fa corrispondere il singleton $\{0\}$, soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Kakutani, tranne quella di avere immagini convesse. Tale $f$ non ha punti fissi.

Bibliografia

• (EN) Shizuo Kakutani, A Generalization of Brouwer's Fixed Point Theorem, in Duke Mathematical Journal, vol. 8, n. 3, 1941, pp. 457–459, DOI:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
• (EN) Nash, John "Equilibrium points in n-person games" Proceedings of the National Academy of Sciences 36 (1) (1950) : 48-49.
• (EN) Kim C. Border, Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press, 1989.

Voci correlate

• Funzione polidroma
• Punto fisso
• Teorema del punto fisso di Brouwer
• Teorema del punto fisso di Schauder
• Teorema di Ryll-Nardzewski
• Teoremi di punto fisso

Collegamenti esterni

• Nash, Berge, Kakutani dimostrazione del teorema di esistenza dell'equilibrio di Nash e preliminari (file pdf, 18 pagg.)