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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando il teorema di Lagrange nella teoria dei gruppi, vedi Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi).
Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando il teorema di Lagrange nella teoria dei numeri, vedi Teorema di Lagrange (teoria dei numeri).

In analisi matematica il teorema di Lagrange (o del valor medio o dell'incremento finito) è un risultato che si applica a funzioni di variabile reale e afferma, dal punto di vista geometrico, che dato il grafico di una funzione tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela alla secante passante per gli estremi.

Questo teorema è usato per provare delle proprietà di una funzione in un intervallo partendo da ipotesi locali sulle derivate nei punti di tale intervallo. È uno dei più importanti risultati dell'analisi matematica.

Indice

StoriaModifica

Un caso speciale di questo teorema fu inizialmente descritto da Parameshvara (1370–1460), dalla Scuola del Kerala in India, nei suoi commenti su Govindasvāmi e Bhāskara II.[1] Una forma ristretta del teorema fu poi provata da Rolle nel 1691; il suo risultato fu quello che ora è conosciuto come teorema di Rolle, e fu provato solo per polinomi, senza nessuna tecnica di analisi. Il teorema del valor medio nella sua forma moderna fu formulato e dimostrato da Cauchy nel 1823.[2]

EnunciatoModifica

Sia   una funzione continua nell'intervallo chiuso   e derivabile nell'intervallo aperto  . Allora esiste almeno un punto  [3]

Significato geometricoModifica

 
Immagine che spiega il significato geometrico del teorema di Lagrange

Supponiamo di avere una funzione   di variabile reale a valori reali definita nell'intervallo  , come nell'immagine. Supponiamo che essa sia continua e che in ogni punto del suo grafico - esclusi   e   - sia ben definita la retta tangente, quest'ultima non parallela all'asse delle ordinate (supponiamo cioè che la funzione   sia derivabile in  ). Tracciamo la retta secante il grafico, passante per i punti   e  .

Il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità sopra enunciate esiste almeno un punto  , come nell'esempio, tale che la tangente al grafico di   nel punto   abbia la stessa pendenza della retta passante per i punti   e  .

OsservazioniModifica

  • Il teorema di Lagrange può anche essere considerato un caso particolare del teorema di Cauchy.

Sia   la funzione identità ( ). Applichiamo il teorema di Cauchy a   e  :

 

Poiché  , si ha che  

Sia   una funzione continua nell'intervallo  , derivabile in   e tale che  . Applicando il teorema di Lagrange si ha che

 
  • Da notare che il teorema, come enunciato, è falso se una funzione derivabile è a valori complessi invece che reali. Per esempio, si definisce   per tutti gli   reali. In tal caso
 

mentre   per ogni   .

DimostrazioneModifica

È possibile dimostrare l'asserto mediante un'applicazione del teorema di Rolle.

Sia   la seguente funzione ausiliare:

 

Si tratta della retta passante per i punti   e   della figura.

Sia ora   la differenza tra le due funzioni   e  :

 .

Si verifica immediatamente che

 

La funzione   è continua perché somma di funzioni continue (una per ipotesi e una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado).

Per il teorema di Rolle, se una funzione è continua in un intervallo  , derivabile in   e assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto   in cui la sua derivata sia  .

Applichiamo quindi il teorema di Rolle alla funzione  , dal momento che ne soddisfa tutte le ipotesi:

 .

Segue che

 

Ora si osserva che

 

Quindi

 

e il teorema è così dimostrato.

EstensioniModifica

Funzioni definite in RnModifica

Il teorema rimane valido considerando funzioni definite in  .

Sia   una funzione reale differenziabile su un aperto  , siano   due punti di   tali che il segmento  

allora esiste   tale che

 

dove con   indichiamo il gradiente di f.

Per la dimostrazione è sufficiente considerare la funzione

  con  

derivabile sull'intervallo unitario perché composizione di due funzioni derivabili.

Funzioni a valori in RmModifica

Il teorema non è più valido in questa forma per le funzioni a valori in  . Infatti sebbene applicabile a ogni singola componente, non è possibile garantire che ciascuna delle uguaglianze del teorema si verifichi contemporaneamente per lo stesso valore della variabile indipendente. In questo caso il teorema è valido se si accetta la seguente formulazione:

Sia   una funzione reale derivabile su un aperto  , contenente il segmento  , allora:

 

Esempi di impiego (corollari)Modifica

Funzioni aventi derivata identicamente nulla su un intervalloModifica

Sia   una funzione continua e derivabile definita in un intervallo  , sia   la derivata di  . Se   per ogni   interno ad  , allora   è costante in tale intervallo, cioè:

 

DimostrazioneModifica

Prendiamo due punti distinti,   e   appartenenti all'intervallo  .

Possiamo applicare il teorema di Lagrange all'intervallo   ottenendo che

 

Dato che per ipotesi   per ogni  , ne segue che

 

Visto che   e   sono due punti arbitrari dell'intervallo, questo vale per ogni coppia di punti e quindi   per ogni   (cioè   è costante nell'intervallo).

Funzioni aventi derivata uguale in un intervalloModifica

Siano   e   due funzioni derivabili in un intervallo   e sia   per ogni  . Allora le due funzioni differiscono per una costante  , cioè

 

DimostrazioneModifica

Si prenda  . Per ipotesi si ha   per ogni  . Allora per il corollario precedente sulle funzioni a derivata nulla, la funzione   è costante nell'intervallo  , cioè   per un determinato  , e quindi

 

Monotonia a partire dalla derivataModifica

Il teorema di Lagrange ci permette di stabilire la monotonia di una funzione derivabile in un certo intervallo, in base al segno della derivata.

Derivata non negativaModifica

Sia   una funzione derivabile in  . Se    , allora per ogni  , con  , si ha che  .

DimostrazioneModifica

Prendiamo due generici punti   e   appartenenti all'intervallo  , con  .

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange a   ottenendo che

 

Dato che     si ha che

 

Ora, dato che  , per essere vera la formula appena scritta deve essere   e visto che questo vale per ogni coppia di punti appartenenti ad  , possiamo concludere che la funzione è monotona crescente nell'intervallo.

Derivata positivaModifica

Sia   per ogni   appartenente all'intervallo  . Allora per ogni   appartenenti all'intervallo   con   si ha che  .

DimostrazioneModifica

Prendiamo due generici punti   e   appartenenti all'intervallo chiuso   con  .

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange a un intervallo avente come estremi   e   ottenendo che

 

Dato che   per ogni   si ha che

 

Ora dato che   per essere vera la formula appena scritta deve essere   e visto che questo vale per ogni   e   appartenenti ad   possiamo concludere che la funzione è monotona crescente.

Derivata non positiva e derivata negativaModifica

Le relative proprietà sono inverse rispetto a quelle ottenute ai due punti precedenti e si ottengono semplicemente invertendo i segni delle diseguaglianze.

Studio delle funzioni su un intervallo aventi derivata limitataModifica

Se f è una funzione continua e derivabile nell'intervallo   e la sua derivata prima   è limitata in  , ovvero esiste  , si ha che   è lipschitziana su  .

DimostrazioneModifica

Consideriamo due generici punti   e   appartenenti all'intervallo   tali che  .

Dal momento che l'ipotesi ci garantisce che la funzione sia derivabile in tutti i punti dell'intervallo, cosa che ci garantisce anche la continuità, possiamo applicare il teorema di Lagrange a un intervallo avente come estremi i due punti di prima, ottenendo che

 

Adesso uniamo questa informazione alla limitatezza della derivata, dataci per ipotesi, dunque possiamo scrivere:

 

Ma siccome i punti possiamo sceglierli a nostro completo arbitrio tra tutti quelli presenti nell'intervallo, allora la pendenza della funzione risulterà limitata, e quindi la funzione soddisferà la condizione di Lipschitz.

NoteModifica

  1. ^ J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). Paramesvara, MacTutor History of Mathematics archive.
  2. ^ A. Besenyei, Historical development of the mean value theorem, http://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf
  3. ^ P. M. Soardi, p. 223

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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