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Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi)

In matematica, il teorema di Lagrange è un teorema basilare nello studio dei gruppi finiti. Afferma che un sottogruppo di un gruppo finito ha ordine (cioè numero di elementi) che divide l'ordine del gruppo.

Prende nome da Joseph-Louis Lagrange.

DimostrazioneModifica

La prima parte della dimostrazione si applica a qualsiasi gruppo   e a un suo sottogruppo  . Si considera l'insieme

 

delle classi laterali (sinistre)

 

di   in  ; questo forma una partizione di  , ovvero   è unione delle classi laterali, e due classi laterali distinte non hanno elementi in comune. Inoltre per ogni   la funzione   che manda   in   è una biezione.

Nel caso in cui   è finito, ogni classe laterale ha dunque ordine eguale all'ordine   di  . Se si denota con   l'indice di   in   (ovvero il numero di classi laterali distinte) si ha quindi

 

In particolare, l'ordine   di   divide l'ordine   di  .

ConseguenzeModifica

Dal teorema di Lagrange segue che, se   è un gruppo finito, l'ordine di ogni suo elemento   (ovvero il più piccolo intero positivo   tale che   sia l'identità) divide l'ordine di  : questo segue dal fatto che l'ordine di   coincide con l'ordine del sottogruppo ciclico generato da  . Un'altra conseguenza è che, se l'ordine di un gruppo è un numero primo, allora esso è ciclico, generato da un qualsiasi elemento diverso dall'identità. Più in generale, il teorema è un primo passo nello studio della struttura dei gruppi finiti.

Un ulteriore corollario del teorema è che  , dove   indica l'identità in  . Esso si traduce nel piccolo teorema di Fermat se  , con   primo, nel teorema di Eulero-Fermat se  , con   intero.

ViceversaModifica

In generale, l'inverso del teorema di Lagrange non vale; ovvero, se   è un intero positivo che divide l'ordine di  , non è detto che   abbia un sottogruppo di ordine  . Per esempio, il gruppo alterno   ha ordine 12, ma non ha sottogruppi di ordine 6. Lo stesso vale per ogni gruppo semplice finito di ordine   pari: infatti, un sottogruppo di ordine   sarebbe normale, contro l'ipotesi che il gruppo è semplice.

L'inverso vale però se   è la potenza di un primo: questo risultato è uno dei teoremi di Sylow. Un altro caso in cui il teorema di Lagrange si inverte è quando il gruppo   è abeliano o, più in generale, quando è nilpotente.

BibliografiaModifica

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