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In matematica, in particolare in algebra lineare, il teorema di Laplace o sviluppo di Laplace, il cui nome è dovuto a Pierre Simon Laplace, è una formula che permette di calcolare il determinante di una matrice (quadrata) con un procedimento ricorsivo. Lo sviluppo può essere eseguito per righe oppure per colonne.

EnunciatiModifica

Si supponga di avere una matrice quadrata   di dimensione   e di elementi  . Si definiscono:

  • La matrice  , la sottomatrice (di dimensione  ) che si ottiene da   cancellando la  -esima riga e la  -esima colonna.
  • Il valore  , detto minore complementare dell'elemento  .
  • Il valore  , detto cofattore o complemento algebrico dell'elemento  .

Il primo teorema di Laplace afferma che il determinante di una matrice quadrata   di ordine   è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una riga qualsiasi (o una colonna qualsiasi) per i rispettivi complementi algebrici. In formule:

 

indicando con   la riga, con   la colonna e considerando  .

Il secondo teorema di Laplace afferma che è sempre nulla la somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per i complementi algebrici di un'altra riga (o colonna) della matrice stessa. In formule:

 

(se   è il primo teorema e il risultato è diverso da zero).

Con lo sviluppo di Laplace si può verificare, per esempio, che il determinante di una matrice diagonale è il prodotto dei valori sulla diagonale, che il determinante di una matrice triangolare è ancora il prodotto dei valori sulla diagonale o che gli autovalori di una matrice triangolare sono gli elementi sulla diagonale.

DimostrazioneModifica

Per provare che il determinante della matrice ottenuto operando con le righe e quello ottenuto operando con le colonne sono la stessa cosa basta ricordarsi  . Fissato arbitrariamente   appartenente  , la matrice ottenuta da   sostituendo alla sua  -esima riga la  -pla:

 

dove l'elemento   compare nella  -esima posizione. Da:

 

applicando iterativamente le proprietà 4' e 4" del determinante alla  -esima riga di  , si ottiene:

 

Dopo di che, non resta che provare che al variare di   in  

A tale scopo sia   la matrice ottenuta da   scambiando consecutivamente ogni riga, dalla riga   alla riga  , con la sua successiva fino ad ottenere una matrice   con un   nel posto individuato dalla  -esima riga e dalla  -esima colonna, tutti gli altri elementi di tale riga siano   e tutti gli altri elementi della  -esima colonna siano quelli di  . in questo modo si è isolato il minore  .

Essendo tale minore il minore   complementare di   in  . Si osservi ora che se   indica il sottogruppo di   costituito dalla permutazione   appartenente a   tale che  , l'applicazione che associa ad ogni   appartenente a   la sua restrizione a   definisce una biiezione tra   e   in cui corrispondenti permutazioni hanno lo stesso segno. Pertanto, posto  , poiché   e, per ogni s appartenente a  ,   si ottiene:

 
 
 

Poiché   è ottenuta da   con   scambi di riga ed   scambi di colonna, dalla proprietà 2 del determinante si ha:

 

Come volevasi dimostrare.

Esempio di calcoloModifica

Si voglia calcolare il determinante della seguente matrice quadrata del terzo ordine:

 
  • Si inizia scegliendo arbitrariamente una riga o una colonna della matrice rispetto alla quale sviluppare la formula. Ammettiamo di aver scelto la prima riga:  ;
  • Si moltiplica ogni numero della riga scelta per il rispettivo complemento algebrico. Quindi:
    •  
    •  
    •  
  • Il determinante della matrice iniziale è dato dalla somma dei precedenti prodotti e vale:  .
  • Il risultato ottenuto è indipendente dalla riga o colonna inizialmente scelta. Utilizzando ad esempio l'ultima riga della matrice, che contenendo uno zero aiuta a semplificare ulteriormente i calcoli, si ottiene infatti:
 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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