Teorema di Liouville (analisi complessa)

teorema di analisi complessa

In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Liouville è un teorema riguardante una proprietà caratteristica delle funzioni intere. Stabilisce che, detta una funzione intera, se esiste tale che per ogni , ovvero se è limitata, allora è costante.

Il teorema di Liouville può essere rafforzato dal piccolo teorema di Picard che afferma che l'immagine di attraverso una funzione intera non costante è o tutto il piano complesso o il piano complesso privato di un punto. Permette inoltre di ottenere una semplice dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.

DimostrazioneModifica

Dato che   è intera si potrà scrivere un suo sviluppo attorno all'origine:

 

Per i coefficienti, valgono le seguenti relazioni ricavabili tramite il teorema integrale di Cauchy e la formula di Cauchy:

 

dove   è la circonferenza centrata nell'origine e di raggio  , abbastanza grande da contenere  .

Applicando il lemma di Darboux si ottiene la seguente disuguaglianza:

 

Se si impone adesso che il modulo di   sia limitato dal numero positivo  , si vede che per tutti gli   naturali diversi da 0, la quantità   e di conseguenza   tende a 0 se   tende all'infinito. Di conseguenza   per ogni  , che è la tesi.

EstensioneModifica

Un'estensione del teorema si può operare indebolendo le ipotesi, ossia richiedendo non che la funzione sia limitata, ma che essa abbia valori in un semipiano.

Sia   una funzione intera. Se   è contenuta in un semipiano, allora   è costante.

Infatti, senza ledere la generalità si può supporre che il semipiano sia il semipiano individuato dai numeri complessi avente parte reale positiva. Detta   la parte reale di  , risulta quindi che   è armonica (poiché parte reale di una funzione olomorfa) e positiva, quindi   è costante. Dalle relazioni di Cauchy-Riemann si ha anche che   è costante.

BibliografiaModifica

  • (EN) V.S. Vladimirov, Methods of the theory of functions of several complex variables , M.I.T. (1966)
  • (FR) G. Monge, Application de l'analyse à la géométrie , Bachelier (1850) pp. 609–616
  • (RU) A.V. Bitsadze, Fundamentals of the theory of analytic functions of a complex variable , Moscow (1972)

Voci correlateModifica

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