Teorema di Nepero

In matematica, il teorema di Nepero afferma le seguenti identità, utilizzando la notazione standard per gli elementi di un triangolo:

Un triangolo generico con le comuni notazioni

DimostrazioneModifica

Siano  ,  ,   i lati di un triangolo, e siano  ,  ,   gli angoli opposti, rispettivamente.

 

Per il teorema dei seni  ,   e  . Sostituendo si ottiene:

  (1)

Consideriamo il secondo membro: usando le formule di prostaferesi, la formula di duplicazione del seno e l'identità   diventa

 

Consideriamo il primo addendo del numeratore del primo membro:  

Usando la formula di bisezione del coseno, le formule di prostaferesi, le identità   e  , otteniamo:

   

Allo stesso modo si ottiene che

 

Sostituendo le espressioni trovate per il primo e il secondo membro nella (1) e usando la formula di somma del seno, otteniamo

 

Usando la formula di duplicazione del seno otteniamo

 

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