Teorema di Riemann-Dini

In matematica, il teorema di Riemann Dini è un teorema sulle serie a valori reali semplicemente convergenti, chiamato così in onore dei matematici Bernhard Riemann e Ulisse Dini.

Il teorema afferma che se una serie è (semplicemente) convergente, ma non assolutamente convergente, allora, dato un qualsiasi numero reale, esiste una permutazione dei suoi termini che la rende convergente a tale numero; inoltre, esistono permutazioni dei termini che rendono la serie divergente a e a .

EnunciatoModifica

Sia   una successione a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:

 

ma non assolutamente convergente,

 

Sia inoltre  . Allora esiste una permutazione

 

tale che

 

DimostrazioneModifica

LemmaModifica

Per ogni   si ponga

 

(queste serie non sono altro che le serie dei termini, rispettivamente, positivi e negativi estratti dalla serie originaria; ovviamente tutti quelli uguali a 0 possono essere rimossi).

Allora

 

Infatti, dato che la serie   converge e che

 

allora le serie   e   o sono entrambe convergenti o entrambe divergenti. Ma se le due serie convergessero, allora anche   dovrebbe convergere, il che è assurdo. Inoltre, poiché per ogni     e  , allora le due serie associate a tali successioni devono divergere rispettivamente a   e  .

Dimostrazione del teoremaModifica

Per semplicità si supponga che  , il caso   è analogo.

Costruzione della permutazioneModifica

Una possibile costruzione della permutazione σ di   procede nel modo seguente: si sommano i termini non negativi fino ad oltrepassare il valore   e in seguito si aggiungano i termini strettamente negativi fino a quando la somma parziale diventa strettamente inferiore ad   (questo procedimento è sempre possibile grazie al lemma). Si itera quindi la procedura, sommando i termini positivi a partire da dove ci si è fermati, in seguito i termini negativi, e via discorrendo. La permutazione σ si definisce quindi come la permutazione associata all'ordinamento dei termini utilizzato in tale procedura.

ConvergenzaModifica

Dato che la serie   è convergente allora per ogni   esiste   tale che

 

Di conseguenza, prendendo  , si ha che

 

(infatti certamente σ(n) > N0). Sia ora   il più piccolo intero maggiore di   tale che   e   siano di segno opposto. Per come è stata costruita la permutazione σ , si ha che

 

Sia definisca ora, per  , la proposizione

 

È chiaro che   è verificata. Si supponga ora che sia vera per  . Distinguiamo a questo punto i due casi che seguono.

Primo caso
Se
 
allora
 
e dunque
 
Secondo caso
Se
 
allora
 
perciò
 

Per il principio d'induzione, risulta dimostrato che

 

e dunque la serie converge ad  .

EsempioModifica

Si prenda in esame la serie armonica a segni alterni, denotando con   il suo termine n-esimo,

 

La serie   converge per il criterio di Leibniz, ma non converge assolutamente in quanto la serie armonica diverge positivamente.

È noto che:

 

(si veda la dimostrazione fatta nella voce serie armonica a segni alterni ).

Riordinando la successione nel modo seguente,

 

ossia scomponendo la serie in blocchi da tre della forma:

 

Sommando i primi due termini si ha

 

pertanto la successione delle somme parziali può essere riscritta come:

 

che raccogliendo il fattore 1/2 non è altro che

 

ossia la metà del valore della serie armonica a segni alterni.

Teoremi derivatiModifica

Teorema di SierpińskiModifica

Nel teorema di Riemann, la permutazione usata per riarrangiare una serie semplicemente convergente per ottenere un certo   potrebbe avere un numero arbitrario di punti non fissi, cioè tutti gli indici dei termini della serie potrebbero essere permutati. Ci si potrebbe chiedere se è possibile riarrangiare solo gli indici in un insieme più piccolo in modo che la serie converga a un arbitrario numero reale o diverga a  . La risposta a questa domanda è positiva: Sierpiński dimostrò che permutando solo i termini positivi e lasciando fissi quelli minori o uguali a zero è possibile ottenere una serie convergente a qualunque assegnato valore minore o uguale a quello della serie originale.[1][2][3]

Questa domanda è stata inoltre esplorata usando il concetto di ideale: per esempio, Wilczyński provò che è sufficiente riarrangiare solo gli indici nell'ideale degli insiemi di densità asintiotica zero.[4] Filipów e Szuca dimostrarono che anche altri ideali hanno questa proprietà.[5]

Teorema di SteinitzModifica

Data una serie convergente   di numeri complessi, parecchi casi possono accadere quando si considera l'insieme delle possibili somme per tutte le serie   ottenute permutando i suoi termini:

  • la serie   potrebbe convergere assolutamente; allora tutte le serie riarrangiate convergono e inoltre allo stesso valore: l'insieme delle somme delle serie permutate si riduce ad un punto.
  • la serie   potrebbe non convergere assolutamente; se   denota l'insieme delle somme   che convergono, allora o   è una retta   nel piano complesso  , della forma
 
oppure è l'intero piano complesso  .

Più in generale, data una serie convergente di vettori in uno spazio vettoriale   su   di dimensione finita, l'insieme delle somme delle serie permutate convergenti è uno sottospazio affine di  .

Enunciato più generaleModifica

Si dimostra[6] che il teorema può essere enunciato, in modo più potente, nella seguente forma:

Sia   una successione a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:

 

ma non assolutamente convergente,

 

Siano inoltre   con  . Allora esiste una permutazione

 

tale che

 
 .

Data la definizione di limiti inferiore e superiore, questo enunciato si riduce al precedente nel caso si scelga α = β.

Scegliendo invece α ≠ β si ha un risultato non previsto dall'enunciato precedente, ovvero che il riarrangiamento della serie sia oscillante fra α e β.

NoteModifica

  1. ^ Wacław Sierpiński, Contribution à la théorie des séries divergentes, in Comp. Rend. Soc. Sci. Varsovie, vol. 3, 1910, pp. 89–93.
  2. ^ Wacław Sierpiński, Remarque sur la théorème de Riemann relatif aux séries semi-convergentes, in Prac. Mat. Fiz., XXI, 1910, pp. 17–20.
  3. ^ Wacław Sierpiński, Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes, in Bull. Intern. Acad. Sci.: Cracovie A, vol. 149-158, 1911.
  4. ^ Władysław Wilczyński, On Riemann derangement theorem, in Słup. Pr. Mat.-Fiz., vol. 4, 2007, pp. 79–82.
  5. ^ Rafał Filipów e Piotr Szuca, Rearrangement of conditionally convergent series on a small set, in Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 362, n. 1, February 2010, pp. 64–71, DOI:10.1016/j.jmaa.2009.07.029.
  6. ^ P. M. Soardi, Analisi matematica, Novara, Città studi edizioni, 2010, pp. 143-145..

Voci correlateModifica

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