Teorema di Stolz-Cesaro

In matematica, il teorema di Stolz-Cesaro, il cui nome è dovuto a Otto Stolz e Ernesto Cesaro, è un criterio per dimostrare la convergenza di una successione.

Siano $(a_{n})_{n\geq 1}$ e $(b_{n})_{n\geq 1}$ due successioni di numeri reali. Se $b_{n}$ è una successione positiva, strettamente crescente, illimitata, ed esiste il seguente limite:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l$

allora esiste anche il limite:

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l$

La forma generale del teorema è la seguente. Se $(a_{n})_{n\geq 1}$ e $(b_{n})_{n\geq 1}$ sono due successioni tali che $b_{n}$ è monotona e non limitata, allora:

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}$

Il teorema di Stolz–Cesaro può essere considerato come una generalizzazione della somma di Cesaro, ma anche come una sorta di regola di de l'Hôpital per successioni, vedendo le differenze come approssimazioni delle derivate al primo ordine.

Ponendo $a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mbox{ e }}b_{n}=n$ si ottiene la somma di Cesaro.

Bibliografia

• (EN) Marian Mureşan, A Concrete Approach to Classical Analysis, Springer, 2008, ISBN 9780387789323, p. 85.
• (EN) Stolz, O., Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den neueren Ansichten, Teubner, Leipzig, 1885, pp. 173–175. (online copy at Internet Archive)
• (EN) Cesaro, E., Sur la convergence des séries, Nouvelles annales de mathématiques Series 3, 7 (1888), pp. 49—59.
• (EN) Pólya, G. e Szegö, G., Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, vol. 1, Berlin, J. Springer 1925.

Voci correlate

• Criterio di convergenza di Cauchy
• Limite di una successione
• Regola di de l'Hôpital
• Stima asintotica
• Teorema del confronto
• Teorema della permanenza del segno
• Somma di Cesaro
• Teorema di esistenza del limite di successioni monotone

Collegamenti esterni

• Stolz-Cesaro, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• Dimostrazione del Teorema di Stolz-Cesaro (in inglese), su planetmath.org.