Teorema di arresto opzionale di Doob

Nella teoria della probabilità, il teorema di arresto opzionale di Doob afferma che, sotto certe condizioni, il valore atteso di una martingala ad un certo tempo di arresto coincide con il suo valore atteso iniziale.

Il teorema prende il nome dal matematico Joseph Leo Doob.

EnunciatoModifica

Sia   una martingala su   e sia   un tempo di arresto per X. Supponiamo che valga una delle seguenti condizioni:

  •   è limitato, ovvero esiste una costante   tale che   quasi certamente.
  •   ed esiste una costante   tale che
 .
  • X è limitato, ovvero esiste   tale che
 
e   è finito quasi certamente.

Allora

 

Allo stesso modo, se   è una supermartingala, si avrà

 

Se invece è una sottomartingala

 .

BibliografiaModifica

  • David Williams, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991, ISBN 978-0-521-40605-5.
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