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In matematica ci sono vari teoremi di isomorfismo, che asseriscono generalmente che alcuni insiemi dotati di opportune strutture algebriche sono isomorfe.

Indice

Teoria dei gruppiModifica

In teoria dei gruppi ci sono tre teoremi d'isomorfismo, che valgono anche, con opportune modifiche, per anelli e moduli. I teoremi furono formulati originariamente da Richard Dedekind; successivamente Emmy Noether li rese più generali nell'articolo Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl und Funktionenkörpern pubblicato nel 1927 in Mathematische Annalen, per essere poi sviluppati nella forma moderna da Bartel Leendert van der Waerden nel suo libro Algebra.

Primo teorema d'isomorfismoModifica

Se   è un omomorfismo fra due gruppi   e  , allora il nucleo di   è un sottogruppo normale di  , ed il gruppo quoziente   è isomorfo all'immagine di  . In simboli:

 

L'isomorfismo è canonico, indotto dalla mappa  : la classe   è mandata in  .

Questo teorema è detto teorema fondamentale di omomorfismo.

Proprietà universale del nucleoModifica

Se   è un omomorfismo e   è un sottogruppo normale di   contenuto in  , esiste un unico omomorfismo   tale che

 

dove   è la proiezione canonica  .

Secondo teorema d'isomorfismo (teorema del diamante)Modifica

Siano   e   due sottogruppi di un gruppo  , con   sottogruppo normale. Allora il sottoinsieme prodotto

 

è anch'esso un sottogruppo di  , e inoltre:

  •   è normale anche in  ,
  •   è normale in  ,
  •  

L'isomorfismo è canonico, indotto dalla mappa

 

Terzo teorema d'isomorfismoModifica

Siano   due sottogruppi normali di   con   contenuto in  . Vale il seguente isomorfismo:

 

Anche questo isomorfismo è canonico.

Teoria dei numeriModifica

In teoria dei numeri, esiste il seguente teorema d'isomorfismo di Ax-Kochen. Il teorema afferma che se   e   sono terne di Peano allora esiste una mappa   tale che:

  •   è biiettiva;
  •  ;
  •  .
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