Teorema di limitatezza

Il teorema di limitatezza è un teorema di analisi matematica che assume forme diverse a seconda del contesto, e afferma che un oggetto che ha un limite è necessariamente limitato. Si applica generalmente a successioni e funzioni.

SuccessioniModifica

EnunciatoModifica

Il teorema di limitatezza per successioni di numeri reali afferma che

Una successione   di numeri reali, convergente ad un limite finito  , è limitata, esiste cioè un numero reale   tale che   per ogni  .

DimostrazioneModifica

Dalla definizione di limite, prendendo  , si deduce che esiste un   tale che   è nell'intervallo limitato   per ogni  : quindi la sottosuccessione formata da tutti i termini   con   è limitata.

La successione completa   è ottenuta da questa aggiungendo un numero finito di termini  , e quindi è anch'essa limitata. Concretamente,   si ottiene come

 

FunzioniModifica

EnunciatoModifica

Il teorema di limitatezza per funzioni, solitamente chiamato teorema di limitatezza locale, afferma che

Sia   una funzione definita su un aperto   dei numeri reali che ha un limite finito in un punto   di accumulazione per  .

Allora esiste un intorno   di   tale che   è un insieme limitato di  . Esiste cioè un numero   tale che il valore assoluto   per ogni   in  .

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