Teoremi di Gershgorin

In matematica, i teoremi di Gershgorin sono alcuni teoremi sulla localizzazione degli autovalori di una matrice nel campo complesso. Il loro nome è dovuto al matematico bielorusso Semyon Aranovich Gershgorin.

Cerchi di Gershgorin

Una definizione di basilare importanza nella comprensione di questi teoremi è quella di cerchio di Gershgorin.

Sia $A=(a_{ij})$ una matrice in $\mathbb {C} ^{n\times n}$. Si consideri l'elemento $i$-esimo $a_{ii}$ della diagonale principale di $A$ e la somma dei moduli degli elementi della riga $i$-esima fuori della diagonale:

$R_{i}(A)=\sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ij}|.$

Queste due quantità individuano il sottoinsieme del piano complesso:

$K_{i}:=\{z\in \mathbb {C} :|z-a_{ii}|\leq R_{i}(A)\},$

corrispondente ad un disco di raggio $R_{i}(A)$ centrato in $a_{ii}$, che viene detto $i$-esimo cerchio di Gershgorin della matrice $A$.

Primo teorema di Gershgorin

Sia $A$ una matrice come sopra. Allora gli autovalori di $A$ appartengono alla regione del piano complesso individuata dall'intersezione tra l'unione dei cerchi riga e l'unione dei cerchi colonna $A$. In formule:

$\sigma (A)\subset \bigcup _{i=1}^{n}K_{i}.$

Dimostrazione: sia $\lambda$ un autovalore di $A$ e sia $\mathbf {x} =(x_{j})$ l'autovettore corrispondente. Scegliamo $i\in \{1,\dots ,n\}$ in modo che $|x_{i}|=\max _{j}|x_{j}|$. Questo equivale a dire: scegliere $i$ in modo che $x_{i}$ sia la più grande coordinata, in modulo, del vettore $\mathbf {x}$. Allora $|x_{i}|>0$ altrimenti $\mathbf {x} =0$. Poiché $\mathbf {x}$ è un autovettore, $A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$ e quindi:

$\sum _{j}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}\quad \forall i\in \{1,\ldots ,n\}.$

Allora, scomponendo la somma otteniamo

$\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}-a_{ii}x_{i}.$

Possiamo dividere entrambi i membri per $x_{i}$ (scegliendo $i$ come sopra abbiamo che $x_{i}\neq 0$) e passando ai moduli otteniamo

$|\lambda -a_{ii}|=\left|{\frac {\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|=R_{i},$

dove l'ultima disuguaglianza vale poiché

$\left|{\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq 1\quad {\text{per }}j\neq i.$

Secondo teorema di Gershgorin

Detta

$M_{1}:=\bigcup _{i=1}^{k}K_{i}$

e

$M_{2}:=\bigcup _{i=k+1}^{n}K_{i}.$

Se $M_{1}\cap M_{2}=\varnothing ,$ allora esattamente $k$ autovalori appartengono a $M_{1}$ e i restanti $n-k$ appartengono a $M_{2}.$

Terzo teorema di Gershgorin

Se la matrice $A$ è irriducibile ed esiste un autovalore $\lambda$ di $A$ contenuto in $\partial \left(\bigcup _{i=1}^{n}K_{i}\right)$ allora $\lambda$ sta sulla frontiera di ogni $K_{i},$ con $i=1,2,\ldots n.$

Bibliografia

D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi numerici per l'algebra lineare, Zanichelli, Bologna, 1988.