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Teoria dei caratteri

il carattere della rappresentazione ρ è la mappa χ: G → K che manda g∈G nella traccia della matrice rappresentativa dell'automorfismo ρ(g)

Definizione di carattereModifica

Sia   uno spazio vettoriale sul campo   e sia   una rappresentazione del gruppo   su  . Il carattere della rappresentazione   è, per definizione, la mappa   che manda   nella traccia della matrice rappresentativa dell'automorfismo  :

 

ProprietàModifica

Il carattere di una trasformazione presenta alcune particolari proprietà.

Sia   una rappresentazione del gruppo   sullo spazio vettoriale   e sia   il suo carattere allora possiamo dire che:

  1.   è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale   infatti:
     
    e dato che   è la matrice identica dello spazio vettoriale   la sua traccia è uguale alla sua dimensione.
  2.   è costante sulle classi di coniugio. In altre parole se   e   sono due elementi di G, si ha  . Il motivo è che la traccia è invariante per similitudine, cioè matrici simili hanno la stessa traccia.
  3. Due rappresentazioni   e   si dicono isomorfe se esiste un isomorfismo   tale che:
     
    per ogni elemento   del gruppo  . Quindi se   e   sono isomorfe allora, poiché la traccia è invariante per similitudine, avranno lo stesso carattere ( ).
  4. Se   è un gruppo finito di ordine   allora   appartiene al sovracampo di   generato dalle radici  -esime di  . Infatti poiché   per ogni   si ha anche   per ogni   e quindi gli autovalori di   sono radici  -esime di  .

Carattere di una somma direttaModifica

Siano   e   due spazi vettoriali sul campo   e  ,   due rappresentazioni di  . Se definiamo   e  , la somma diretta di   e   è la rappresentazione

 

definita così:

 

dove   è l'applicazione che manda  , appartenente  , in  , sempre appartenente a  .

Si ha evidentemente

 

questo per ogni   in   e quindi:

 

Carattere di un prodotto tensorialeModifica

Siano   e   due spazi vettoriali sul campo   e  ,   due rappresentazioni di  . Se definiamo   e  , il prodotto tensoriale di   e   è la rappresentazione

 

definita così:

 

dove   manda

 

in

 

Tale prodotto tensoriale ha la proprietà seguente: se   e   sono le matrici di due applicazioni lineari  ,   rispetto alle basi   di   e   di  , il loro prodotto tensoriale   è rappresentato dal prodotto di Kronecker di   e  , indicato con  , rispetto alla base   di  .

Dalla proprietà

 

segue che

 

Carattere della potenza simmetrica secondaModifica

Dato uno spazio vettoriale   su   di dimensione  , la potenza simmetrica  -esima di   è lo spazio vettoriale su  , indicato con  , generato dai prodotti simmetrici del tipo   dove i   appartengono a   e i prodotti di somme sono ottenuti imponendo l'usuale distributività. La costruzione è funtoriale nel senso che ad ogni mappa lineare   si può associare la sua potenza simmetrica  -esima

 

mandando   in  .

Se   è una base di   allora una base di   è data dai prodotti   dove  . Si ha quindi:

 

Ad ogni rappresentazione   possiamo associare la rappresentazione   definita mandando   in  . Se  , si ha

 

Carattere della potenza esterna secondaModifica

Dato uno spazio vettoriale   sul campo  , di dimensione   e con la base  , la potenza esterna  -esima di   è lo spazio vettoriale su   indicato con   e generato dai prodotti multilineari alternanti   dove i   sono vettori di   e i prodotti di somme sono ottenuti imponendo l'usuale distributività. La costruzione è funtoriale nel senso che ad ogni applicazione   si può associare la sua potenza esterna  -esima   mandando   in  .

Se   è una base per   allora una base di   è data dai prodotti   dove  . Si ha quindi

 

Ad ogni rappresentazione   possiamo associare la rappresentazione   definita mandando   in  . Si ha

 

Relazioni di ortogonalitàModifica

Siano  ,   due rappresentazioni del gruppo finito   sul campo  , e sia   un'applicazione lineare. Nel caso in cui la caratteristica di   non divide l'ordine di   definiamo

 

Si tratta di un'applicazione K-lineare  , ed ha la proprietà fondamentale di essere  -invariante, nel senso che   per ogni  ,  .

Nel caso particolare in cui il campo   è algebricamente chiuso e le rappresentazioni  ,   sono irriducibili, il lemma di Schur ci dice che:

  1. se   allora  ;
  2. se   allora   è la moltiplicazione per lo scalare  .

La seconda asserzione è giustificata dal fatto che detto   l'autovalore di   si ha

 

Pensiamo ora a   come a matrici ed indichiamone le componenti con   e   con  ,  ,  ,  . Se   è un campo algebricamente chiuso di caratteristica che non divide l'ordine di  , le precedenti asserzioni tradotte in termini matriciali diventano le seguenti.

  1. Se   allora
     
  2. Se   allora
     

Qui il simbolo   è il delta di Kronecker.

Prima relazione di ortogonalitàModifica

Sia   un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero. Ricordiamo che per il teorema di Maschke ogni carattere di un generico gruppo   sul campo   si scrive come somma di caratteri irriducibili.

Consideriamo la seguente forma bilineare simmetrica non degenere sullo spazio vettoriale delle funzioni  :

 

Il risultato precedente implica che se   e   sono due caratteri irriducibili relativi a due rappresentazioni di un gruppo finito   sugli spazi vettoriali  ,  , entrambi nel campo  , il valore di   è 1 se   ed è 0 se  . Questo risultato prende il nome di prima relazione di ortogonalità di Schur.

La prima relazione di ortogonalità ha conseguenze di estrema importanza:

  1. Caratteri irriducibili distinti sono linearmente indipendenti. Siano infatti   caratteri irriducibili distinti del gruppo finito  , e valga   con  . Allora per ogni   si ha
     .
  2. Il numero di caratteri irriducibili di   è minore o uguale del numero di classi di coniugio di  . Siano infatti   le classi di coniugio di  . Data   possiamo considerare la funzione   che vale 1 su   e 0 fuori da  . Risulta che le funzioni   sono linearmente indipendenti ed ogni carattere è combinazione lineare di esse, quindi per il punto precedente i caratteri irriducibili di   sono al più  .
  3. Siano   e   i caratteri delle rappresentazioni irriducibili   e   di  , ed assumiamo che   sia irriducibile. Allora la molteplicità di   in   è uguale a  . In altre parole detti   caratteri irriducibili tali che   (esistono per il teorema di Maschke), si ha che
     
    inoltre   vale   se e solo se  , altrimenti vale  . In particolare la scrittura di un carattere come somma di caratteri irriducibili è unica.
  4. Sia   un carattere di  . Si ha   e   se e solo se   è irriducibile. Infatti detta   la decomposizione di   come somma di caratteri irriducibili, si ha:
     
  5. Si dice carattere principale di   e si indica con   o più semplicemente con   il carattere tale che   per ogni  . Si tratta di un carattere irriducibile dato che  . Per ogni carattere irriducibile   diverso da   la prima relazione di ortogonalità dice che  , è cioè la seguente uguaglianza:
     
  6. Il lemma di Burnside dice semplicemente che dato un carattere di permutazione   relativo ad un'azione transitiva si ha  , ovvero   per un opportuno carattere   che non ha 1 nella decomposizione. Siccome
     
    dove   è il rango del gruppo di permutazione  , possiamo per esempio dedurre che   è 2-transitivo se e solo se il suo carattere si scrive come   per qualche carattere irriducibile   che non ha   nella decomposizione.
  7. La rappresentazione regolare di   è la rappresentazione lineare associata all'azione di   su   per moltiplicazione a destra. Siccome il numero di punti fissi di ogni elemento non identico in questa rappresentazione è uguale a zero, il suo carattere è il seguente:   se  , e  . Siano ora   i caratteri irriducibili di  . Calcoliamo
     
    In altre parole ogni carattere irriducibile compare come componente irriducibile della rappresentazione regolare di   con molteplicità uguale al suo grado. Detto   il grado di   per  , si ha quindi  . Questa uguaglianza prende il nome di formula della somma dei quadrati o  -esimo teorema di Burnside.

Seconda relazione di ortogonalitàModifica

Sia   un gruppo finito e siano   le sue rappresentazioni irriducibili sul campo   dei numeri complessi. Dati   si ha

 

se   e   sono coniugati in  , altrimenti

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Controllo di autoritàLCCN (ENsh85022626 · GND (DE4158438-7 · BNF (FRcb11982528r (data)
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