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La teoria dei modelli è una branca della matematica, e più precisamente della logica, che affronta lo studio generalizzato del concetto di modello, in riferimento alle relazioni tra varie strutture ed in particolare alla soddisfacibilità di date teorie.

Indice

LinguaggioModifica

In teoria dei modelli, per linguaggio (o talvolta vocabolario[1], o segnatura) si intende l'insieme di simboli tramite i quali una teoria è definita, o che una struttura interpreta. Teorie e linguaggi aventi linguaggio   si dicono spesso rispettivamente  -teorie e  -linguaggi.

Tipicamente (nel caso di teorie e modelli del primo ordine), un linguaggio è costituito da:

  • simboli di relazione
  • (eventualmente) simboli di funzione
  • costanti (che possono essere viste come funzioni 0-arie).

Ad esempio, la teoria dei gruppi si esprime in un linguaggio contenente un simbolo di funzione binaria, un simbolo di funzione unaria, ed una costante solitamente  , oppure  .

Il linguaggio della teoria dei grafi orientati comprende sempre un solo simbolo (qui rappresentato come  , che in questo caso è di relazione binaria (  significherà "c'è un arco da   a  "). La teoria dei grafi orientati non prevede alcun assioma ed è caratterizzata semplicemente dal suo linguaggio, per cui qualsiasi teoria avente nel suo linguaggio almeno un simbolo di relazione binaria si può considerare un caso particolare della teoria dei grafi orientati. La teoria dei grafi non orientati richiede che   sia una relazione irriflessiva e simmetrica.

Modelli e soddisfacibilitàModifica

Sia dato un linguaggio   ed una teoria   nel linguaggio τ (ovvero un insieme con fissate interpretazioni dei simboli in τ); si dice che la struttura   che interpreta[2] il linguaggio τ soddisfa   (o che la verifica, o equivalentemente che ne è un modello) se ogni funzione   di   è vera in   dopo avere sostituito ad ogni simbolo la sua interpretazione.

Ovviamente, se è vera ogni formula di  , saranno vere anche le formule che è possibile derivarne.

Modelli finiti e classi elementariModifica

Dato un linguaggio   ed una  -teoria  , si indica con   la classe delle strutture che verificano   e con   il sottoinsieme di quelle finite (formalmente: aventi dominio finito).

Data una qualsiasi classe   di  -strutture finite chiusa per omomorfismo, esiste una teoria   tale che  . Questo si evince facilmente dal fatto che per ogni struttura finita   è possibile trovare una formula   che descrive univocamente   (tale cioè che per ogni struttura   si ha  ), e la teoria

 

verifica ovviamente  .

Se una tale   è finita,   si dice elementare. Una classe elementare può essere individuata da una singola formula:

 .

Viceversa, una classe descrivibile con una sola formula è evidentemente elementare.

NoteModifica

  1. ^ Neil Immerman, Descriptive complexity, Springer-Verlag~New York, 1999.
  2. ^ "A interpreta il linguaggio τ" significa semplicemente che ad ogni simbolo di relazione/funzione   corrisponde una relazione/funzione della stessa arietà in  ; si noti che l'utilizzo di   sia per indicare il dominio della struttura che la struttura stessa è a rigore improprio, ma semplifica la notazione.

BibliografiaModifica

  • Chen Chung Chang, H. Jerome Keisler. Teoria dei modelli. Boringhieri, 1980
  • Annalisa Marcja, Carlo Toffalori. Introduzione alla Teoria dei Modelli. Pitagora, Bologna, 1998
  • Alessandro Berarducci. Teoria dei modelli.

Collegamenti esterniModifica

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