Teoria di Fredholm

In matematica, la teoria di Fredholm è una teoria riguardante le equazioni integrali che si occupa della teoria spettrale applicata agli operatori di Fredholm e ai nuclei integrali di Fredholm in uno spazio di Hilbert.

Tra i principali risultati di questa teoria vi sono i teoremi di Fredholm, tra cui l'alternativa di Fredholm, ed il fatto che il nucleo è un operatore compatto quando lo spazio è formato da funzioni equicontinue.

La teoria prende il nome da Erik Ivar Fredholm, che nel 1903 pubblicò, sugli Acta Mathematica, uno dei più importanti articoli nell'ambito della teoria degli operatori.

Equazioni omogenee

Una notevole parte della teoria di Fredholm si occupa dello studio di un'equazione differenziale del tipo:

$Lg(x)=f(x)$

dove $L$ è un operatore differenziale lineare, $f$ è una funzione data e $g$ l'incognita. Ad esempio, $L$ può essere l'operatore ellittico $d^{2}/dx^{2}$, ed in tal caso l'equazione diventa l'equazione di Poisson.

Un metodo generale per la soluzione di queste equazioni è l'utilizzo di un'opportuna funzione di Green $K$, che è soluzione dell'equazione:

$LK(x,y)=\delta (x-y)$

dove $\delta (x)$ è la delta di Dirac. La soluzione dell'equazione differenziale lineare è allora scritta in termini della funzione di Green attraverso l'equazione integrale di Fredholm:

$g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy$

Si tratta di un'equazione integrale che si incontra anche in diversi ambiti della fisica, e la funzione di Green $K(x,y)$ è anche detta nucleo integrale.

In un contesto più generale $x$ e $y$ sono visti come punti di una varietà, che nel caso più semplice è uno spazio euclideo, e si utilizzano spesso funzioni quadrato sommabili o appartenenti ad uno spazio di Sobolev. La natura dello spazio utilizzato è in moti casi determinata dalle soluzioni dell'equazione agli autovalori:

$L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)$

dove $\omega _{n}$ sono gli autovalori e $\psi _{n}(x)$ gli autovettori. Gli autovettori formano uno spazio di Banach, in cui si definisce in modo naturale un prodotto interno, sicché essi formano uno spazio di Hilbert completo:

$\delta (x-y)=\sum _{n}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)$

in cui si applica il teorema di rappresentazione di Riesz. Il nucleo integrale può essere allora scritto come:

$K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n}}}$

dove $\psi _{n}^{*}$ è lo spazio duale a quello generato dai $\psi _{n}$. In una tale forma, $K(x,y)$ è detto spesso operatore di Fredholm o nucleo di Fredholm. Dal momento che gli autovalori $\omega _{n}$ sono crescenti, gli autovalori di $K(x,y)$ decrescono a zero.

Equazioni non omogenee

L'equazione integrale di Fredholm non omogenea ha la forma:

$f(x)=-\omega \phi (x)+\int K(x,y)\phi (y)\,dy$

e può essere riscritta come:

$f=(K-\omega )\phi$

la cui soluzione è:

$\phi ={\frac {1}{K-\omega }}f$

Una soluzione di questo tipo è tipica della teoria spettrale, in cui l'operatore risolvente è definito come:

$R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}$

Considerando una collezione di autovalori e autovettori di $K$ il risolvente può essere esplicitato nel seguente modo:

$R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n}-\omega }}$

e la soluzione è:

$\phi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy$

Una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di tale soluzione è data da uno dei teoremi di Fredholm. Il risolvente può essere sviluppato in serie di potenze $\lambda =1/\omega$ tramite la serie di Liouville-Neumann. In tal caso l'equazione integrale è scritta come:

$g(x)=\phi (x)-\lambda \int K(x,y)\phi (y)\,dy$

ed il risolvente assume la forma:

$R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}$

Determinante di Fredholm

Il determinante di Fredholm è definito come:

$\det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatorname {Tr} \,K^{n}\right]$

dove:

$\operatorname {Tr} \,K=\int K(x,x)\,dx$

e:

$\operatorname {Tr} \,\lambda ^{2}(K)=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy$

e così via. La corrispondente funzione zeta di Riemann è:

$\zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK)}}$

che può essere vista come il determinante del risolvente.

Bibliografia

• E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Mathematica, 27 (1903) pp. 365–390.
• D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
• Bruce K. Driver, "Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem", Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579–600.
• Robert C. McOwen, "Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds", Pacific J. Math. 87, no. 1 (1980), 169–185.

Voci correlate

• Alternativa di Fredholm
• Autovettore e autovalore
• Determinante di Fredholm
• Equazione differenziale lineare
• Equazione integrale di Fredholm
• Funzione di Green
• Nucleo di Fredholm
• Operatore compatto
• Operatore di Fredholm
• Spettro (matematica)
• Teoria spettrale
• Teoremi di Fredholm

Collegamenti esterni

• (EN) Fredholm operator, in PlanetMath.
• (EN) B.V. Khvedelidze, Fredholm operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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