Apri il menu principale

In topologia, un sottoinsieme di uno spazio topologico eredita anch'esso una topologia, detta topologia di sottospazio o più semplicemente topologia indotta.

Indice

DefinizioneModifica

Se   è un sottoinsieme di uno spazio topologico  , la topologia indotta su   dalla topologia su   è la seguente: un sottoinsieme   di   è aperto se e solo se esiste un aperto   di   tale che  . In altre parole, gli aperti di   sono le intersezioni degli aperti di   (cioè gli aperti  ) con  . [1][2] La topologia indotta si dice anche topologia relativa di   in  .

Normalmente si assume che un sottoinsieme di uno spazio topologico abbia la topologia indotta. Considerato come spazio topologico con la topologia relativa,   si dice sottospazio topologico (o brevemente sottospazio) di  , mentre   si dice spazio ambiente.

Alternativamente, si può definire la topologia su   in uno dei modi seguenti:

  • La topologia su   è la meno fine fra tutte quelle che rendono la mappa inclusione   continua.
  • La topologia su   è l'unica che soddisfi la seguente proprietà universale: Per ogni spazio topologico   una applicazione   è continua se e solo se lo è la sua composizione   con l'inclusione  .

EsempiModifica

  • I numeri interi   vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali  . Tale topologia sui numeri interi è quella discreta.
  • Anche i numeri razionali   vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali  , ma questa non è discreta.
  • Consideriamo l'intervallo   con la topologia indotta da  . Il sottoinsieme   è aperto in   ma non in  .

ProprietàModifica

  • Intersecando tutti gli aperti di una base di   con   si ottiene una base per  .
  • Se   è uno spazio metrico, la metrica ristretta ad   induce la topologia del sottoinsieme.
  • Se   è compatto e   è chiuso allora   è anch'esso compatto.
  • Se   è di Hausdorff allora anche   lo è.
  • Gli insiemi chiusi di   sono le intersezioni di   con gli insiemi chiusi di  .

NoteModifica

  1. ^ E. Sernesi, p. 42
  2. ^ C. Kosniowski,  p. 23

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica