Topologia dello spazio-tempo

La topologia dello spazio-tempo o topologia spazio-temporale, la struttura topologica dello spazio-tempo, è un argomento studiato principalmente nella relatività generale. Questa teoria fisica modella la gravitazione utilizzando una varietà lorentziana (uno spazio-tempo) e i concetti di topologia diventano perciò importanti nell'analisi degli aspetti sia locali che globali dello spazio-tempo. Lo studio della topologia dello spazio-tempo è importante specialmente in cosmologia fisica.

Tipi di topologia

Ci sono due principali tipi di topologia per uno spazio-tempo $M$:

Topologia della varietà

Come con ogni varietà, uno spazio-tempo possiede una topologia di varietà naturale. Qui gli insiemi aperti sono l'immagine degli insiemi aperti in $\mathbb {R} ^{n}$.

Traiettoria o topologia di Zeeman

Definizione: La topologia $\rho$ in cui un sottoinsieme $E\subset M$ è aperto se per ogni curva di tipo tempo $c$ c'è un insieme $O$ nella topologia di varietà tale che $E\cap c=O\cap c$.

È la topologia più fine fra quelle che inducono la stessa topologia come $M$ fa sulle curve di tipo tempo.

Proprietà

Strettamente più fine della topologia di varietà, essa è dunque Hausdorff, separabile ma non localmente compatta.

Una base per la topologia sono gli insiemi della forma $I^{+}(p,U)\cup I^{-}(p,U)\cup p$ per qualche punto $p\in M$ e qualche intorno normale convesso $U\subset M$.

($I^{\pm }$ denota il futuro e il passato cronologico).

Topologia di Alexandrov

La topologia di Alexandrov, anche detta topologia di intervallo, viene definita nei termini delle struttura causale nello spazio-tempo.

È la topologia più grossolana tale che $I^{+}(E)$ è aperto per tutti i sottoinsiemi $E\subset M$.

Qui la base degli insiemi aperti per la topologia sono insiemi della forma $I^{+}(x)\cap I^{-}(y)$ per alcuni punti $\,x,y\in M$.

Questa topologia coincide con la topologia della varietà se e solo se la varietà è fortemente causale ma in genere essa è più grossolana (coarse).

Bibliografia

• (EN) E. C. Zeeman Causality Implies the Lorentz Group J. Math. Phys. April 1964 Volume 5, Issue 4, pp. 490-493

• (EN) S. W. Hawking, A. R. King, P. J. McCarthy A new topology for curved space–time which incorporates the causal, differential, and conformal structures J. Math. Phys. February 1976 Volume 17, Issue 2, pp. 174-181

Voci correlate

• Spazio-tempo
• Struttura causale
• Singolarità gravitazionale