Trasformata inversa di Laplace

In matematica, la trasformata inversa di Laplace o antitrasformata di Laplace è l'inversa della trasformata di Laplace. Entrambe hanno importanti applicazioni nello studio/analisi dei sistemi dinamici lineari.

DefinizioneModifica

Detta   la trasformata di Laplace, l'antitrasformata di Laplace di una funzione   è la funzione   tale che:

 

Si prova che se una funzione   ha trasformata inversa  , ovvero   è una funzione continua a tratti che soddisfa la condizione precedente, allora   è univocamente determinata.

Una formulazione integrale dell'antitrasformata di Laplace, chiamata anche integrale di Bromwich o formula inversa di Mellin, è data dall'integrale di linea:

 

dove l'integrazione avviene lungo la linea verticale   nel piano complesso, con   maggiore della parte reale di tutte le singolarità di  . Questo assicura che la linea di contorno è nella regione di convergenza. Se tutte le singolarità di   sono dalla parte sinistra del piano complesso o se   non ha singolarità, allora   può essere preso nullo e la formula diventa uguale alla trasformata di Fourier inversa. Infatti, se  , in tal caso si ha

 

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